【積分】『定積分の計算』途中式を飛ばさず計算方法を解説

定積分の途中計算

今回は積分を用いて面積を求める問題です！

今回扱う問題は定期テスト、大学入試で頻出となっています。グラフを正しく描くことができるか否かで、立式のしやすさが大きく異なります。

いつも以上に丁寧にグラフを描きましょう。

定積分の問題

曲線 $y=x^3-2x^2-x+2$ と $x$ 軸に囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

（解説）

$x^3-2x^2-x+2=0$ とおき、$x$ 軸との交点を求める。

また、$y=f(x)$ とおくと、$f(1)=0$ となるので、

組み立て除法より、

$(x-1)(x^2-x-2)$

$=(x-1)(x+1)(x-2)$

$x=-1$,　$1$,　$2$

このことを踏まえると、$y=x^3-2\times 2-x+2$ のグラフの概形は、

ここで、「曲線 $y=x^3-2x^2-x+2$ と $x$ 軸に囲まれた図形の面積 $S$ 」

の「$x$ 軸」の部分を「 $y=0$」 と言い換えられるので、

「曲線 $y=x^3-2x^2-x+2$ と 直線 $y=0$ に囲まれた図形の 面積$S$」

と言い換えられます。

そのことを踏まえつつ、立式すると、

$S=$ ${\displaystyle {\int }_{-1}^1\{(x^3-2x^2-x+2)-0\}dx}$ $+$ ${\displaystyle {\int }_1^2\{0-(x^3-2x^2-x+2)\}dx}$

$=$ ${\displaystyle {\int }_{-1}^1(x^3-2x^2-x+2)dx}$ $+$ ${\displaystyle {\int }_1^2(-x^3+2x^2+x-2)dx}$

$=$ ${\left[{\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+2x}\right]}_{-1}^1$ $+$ ${[-{\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x}]}_1^2$

赤色部分を計算する。

${\left[{\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+2x}\right]}_{-1}^1$

$=\left({\displaystyle \frac{1}{4}\times 1^4-\frac{2}{3}\times 1^3-\frac{1}{2}\times 1^2+2\times 1}\right)$

$=\left({\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2}\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}-2}\right)$

$={\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2-{\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+2}}$

$=-{\displaystyle \frac{4}{3}+4}$

$={\displaystyle \frac{8}{3}}$

青色部分を計算する

${[-{\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x}]}_1^2$

$=(-{\displaystyle \frac{1}{4}\times 2^4+\frac{2}{3}\times 2^3+\frac{1}{2}\times 2^2-2\times 2})$

　$-(-{\displaystyle \frac{1}{4}\times 1^4+\frac{2}{3}\times 1^3+\frac{1}{2}\times 1^2-2\times 1})$

$=(-{\displaystyle \frac{1}{4}\times 16+\frac{2}{3}\times 8+\frac{1}{2}\times 4-4})$

　$-(-{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-2})$

$=(-4+{\displaystyle \frac{16}{3}+2-4})-(-{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-2})$

$=-4+{\displaystyle \frac{16}{3}+2-4+{\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2}}$

$=-4+{\displaystyle \frac{14}{3}+{\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{2}}}$

$=-{\displaystyle \frac{48}{12}+\frac{56}{12}+{\displaystyle \frac{3}{12}-\frac{6}{12}}}$

$={\displaystyle \frac{5}{12}}$

よって、${\displaystyle \frac{8}{3}+\frac{5}{12}={\displaystyle \frac{37}{12}}}$

おわりに

今回は積分を用いて面積を求める問題でした！

あえて小細工は一切使わずに計算してみました。工夫して計算するスキルは後からでも身につけられますが、ゴリ押しで計算する力はなかなか身に付きません。まずは苦しい計算をあえて選択してみるのが数学力をあげる一歩かもしれませんね。