【積分】『定積分が含まれた関数』計算方法を解説

定積分が含まれた関数

今回は定積分が含まれた関数の問題です！

式の赤い部分に着目してみましょう。

　 \(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)

\(f(t)\) には \(2t+1\) のような \(t\) の関数が入っていると考えます。

その関数を積分範囲 \(-1\) から \(1\) で定積分することを考えると、計算結果は定数になることがわかります。

よって、この部分を定数 \(A\) とおいてしまいましょう。

　「\(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt=A\) とおく。」

その後の詳しい計算は、下の解説を見てみてください。

定積分が含まれた関数（問題）

次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。

\(f(x)=6x^2-x+\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)

答案の例

\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\) \(\cdots\) ※　とおくと、\(f(x)=6x^2-x+A\)

\(x\) を \(t\) に置き換えると、\(f(t)=6t^2-t+A\) \(\cdots\) ①

また、\(f(t)=6t^2-t+A\) を ※ に代入する。

\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)

\(=\left[2t^3-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+At\right]_{-1}^1\)

\(=\left(2\cdot 1^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1\right)\)

　\(-\left(2\cdot (-1)^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-1)^2+A\cdot (-1)\right)\)

\(=\left(2-\displaystyle\frac{1}{2}+A\right)-\left(-2-\displaystyle\frac{1}{2}-A\right)\)

\(=2-\displaystyle\frac{1}{2}+A+2+\displaystyle\frac{1}{2}+A\)

\(=4+2A\)

よって、\(A=4+2A\) より \(A=-4\)

\(A=-4\) を ① に代入すると、\(f(x)=6x^2-x-4\)

解説

STEP1 定積分部分を文字に置き定数として扱う

\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\) \(\cdots\) ※　とおくと、\(f(x)=6x^2-x+A\)

\(x\) を \(t\) に置き換えると、\(f(t)=6t^2-t+A\) \(\cdots\) ①

また、\(f(t)=6t^2-t+A\) を ※ に代入する。

\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)

STEP2 右辺の定積分を求める

\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)

\(=\left[2t^3-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+At\right]_{-1}^1\)

\(=\left(2\cdot 1^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1\right)\)

　\(-\left(2\cdot (-1)^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-1)^2+A\cdot (-1)\right)\)

\(=\left(2-\displaystyle\frac{1}{2}+A\right)-\left(-2-\displaystyle\frac{1}{2}-A\right)\)

\(=2-\displaystyle\frac{1}{2}+A+2+\displaystyle\frac{1}{2}+A\)

\(=4+2A\)

STEP3 \(A\) の値を求める

よって、\(A=4+2A\) より \(A=-4\)

\(A=-4\) を ① に代入すると、\(f(x)=6x^2-x-4\)

おわりに

今回は、定積分が含まれている関数の計算問題でした。