【積分】『定積分が含まれた関数』計算方法を解説

定積分が含まれた関数

今回は定積分が含まれた関数の問題です！

式の赤い部分に着目してみましょう。

　 ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(t)dt}$

$f(t)$ には $2t+1$ のような $t$ の関数が入っていると考えます。

その関数を積分範囲 $-1$ から $1$ で定積分することを考えると、計算結果は定数になることがわかります。

よって、この部分を定数 $A$ とおいてしまいましょう。

　「${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(t)dt=A}$ とおく。」

その後の詳しい計算は、下の解説を見てみてください。

定積分が含まれた関数（問題）

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

$f(x)=6x^2-x+{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(t)dt}$

答案の例

$A={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(t)dt}$ $\cdots$ ※　とおくと、$f(x)=6x^2-x+A$

$x$ を $t$ に置き換えると、$f(t)=6t^2-t+A$ $\cdots$ ①

また、$f(t)=6t^2-t+A$ を ※ に代入する。

$A={\displaystyle {\int }_{-1}^1(6t^2-t+A)dt}$

$={[2t^3-{\displaystyle \frac{1}{2}{t}^2+At}]}_{-1}^1$

$=(2\cdot 1^3-{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1})$

　$-(2\cdot (-1{)}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (-1{)}^2+A\cdot (-1)})$

$=(2-{\displaystyle \frac{1}{2}+A})-(-2-{\displaystyle \frac{1}{2}-A})$

$=2-{\displaystyle \frac{1}{2}+A+2+{\displaystyle \frac{1}{2}+A}}$

$=4+2A$

よって、$A=4+2A$ より $A=-4$

$A=-4$ を ① に代入すると、$f(x)=6x^2-x-4$

解説

STEP1 定積分部分を文字に置き定数として扱う

$A={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(t)dt}$ $\cdots$ ※　とおくと、$f(x)=6x^2-x+A$

$x$ を $t$ に置き換えると、$f(t)=6t^2-t+A$ $\cdots$ ①

また、$f(t)=6t^2-t+A$ を ※ に代入する。

$A={\displaystyle {\int }_{-1}^1(6t^2-t+A)dt}$

STEP2 右辺の定積分を求める

$A={\displaystyle {\int }_{-1}^1(6t^2-t+A)dt}$

$={[2t^3-{\displaystyle \frac{1}{2}{t}^2+At}]}_{-1}^1$

$=(2\cdot 1^3-{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1})$

　$-(2\cdot (-1{)}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (-1{)}^2+A\cdot (-1)})$

$=(2-{\displaystyle \frac{1}{2}+A})-(-2-{\displaystyle \frac{1}{2}-A})$

$=2-{\displaystyle \frac{1}{2}+A+2+{\displaystyle \frac{1}{2}+A}}$

$=4+2A$

STEP3 $A$ の値を求める

よって、$A=4+2A$ より $A=-4$

$A=-4$ を ① に代入すると、$f(x)=6x^2-x-4$

おわりに

今回は、定積分が含まれている関数の計算問題でした。