【三角関数】『最大値・最小値』サイン+コサインを別の文字に変換して解く三角関数の問題

三角関数の最大・最小

今回は $\sin \theta +\cos \theta$ を文字に変換して解く関数問題です！

$\sin \theta +\cos \theta$ を $t$ などの別の文字に変換することにより、$\theta$ の式を $t$ の式で表すことできます。$t$ で表されてる方が、$\theta$ で表された式よりも計算がしやすいですね！

サイン＋コサインから求められるもの

$t=\sin \theta +\cos \theta$ の両辺を $2$ 乗してみる。

$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$

　$={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta$

ここで、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

　$=1+2\sin \theta \cos \theta$

このことより、

$t^2-1=2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}$

このように、両辺を $2$ して、$\sin \theta \cos \theta$ を求める解法は、頻出となるので確実に押さえましょう。

三角関数を学ぶにあたって〜これまでの復習〜

三角関数の最大・最小（問題）

関数 $f(\theta )=\sin 2\theta +2(\sin \theta +\cos \theta )-1$ を考える。

ただし、$(0\le \theta \le 2\pi )$ とする。

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$ とおくとき、$f(\theta )$ を $t$ の式で表せ。

(2)　$f(\theta )$ の最大・最小を求めよ。また、そのときの $\theta$ を求めよ。

答案の例

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$ とおくとき、$f(\theta )$ を $t$ の式で表せ。

$t=\sin \theta +\cos \theta$ より

$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$
　$={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +\cos 2\theta$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

　$=1+2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}$ $\cdots$ ※

$f(\theta )=\sin 2\theta +2(\sin \theta +\cos \theta )-1$
　$=2\sin \theta \cos \theta +2(\sin \theta +\cos \theta )-1$

※ を代入すると、

$f(t)=2\times {\displaystyle \frac{t^2-1}{2}+2\times t-1}$

よって、

$f(t)=t^2-1+2t-1$
　$=t^2+2t-2$

(2)　$f(\theta )$ の最大・最小を求めよ。また、そのときの $\theta$ を求めよ。

$f(t)=t^2+2t-2=(t+1{)}^2-3$

頂点 $(-1$,　$-3)$

また、$t=\sin \theta +\cos \theta$ より

$t=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

よって、$-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$

以上のことを踏まえて、グラフを描く。

グラフより、

$t=-1$ のとき最小値 $-3$

$t=\sqrt{2}$ のとき最大値なので、

$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{2}-2$
　$=2+2\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}$

よって、まとめると、

$t=-1$ のとき最小値 $-3$
$t=\sqrt{2}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$

$t=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ より

$t=-1$ を代入すると、

$-1=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}$
$\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{5}{4}\pi }}$,　${\displaystyle \frac{7}{4}\pi }$
$\theta =\pi$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

$t=\sqrt{2}$ を代入すると、

$\sqrt{2}=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$1=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{1}{2}\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$

したがって、

$\theta =\pi$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$ のとき最小値 $-3$

$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$

解説

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$ とおくとき、$f(\theta )$ を $t$ の式で表せ。

$t=\sin \theta +\cos \theta$ とおくだけだと $\sin 2\theta$ の部分を変換しきれません。$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ と考えて、$\sin \theta \cos \theta$ をどう表すかを考えていきます。

$t=\sin \theta +\cos \theta$ より

両辺を $2$ 乗すると、

$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$
　$={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +\cos 2\theta$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

　$=1+2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}$ $\cdots$ ※

$f(\theta )=\sin 2\theta +2(\sin \theta +\cos \theta )-1$
　$=2\sin \theta \cos \theta +2(\sin \theta +\cos \theta )-1$

※ を代入すると、

$f(t)=2\times {\displaystyle \frac{t^2-1}{2}+2\times t-1}$

よって、$f(t)=t^2-1+2t-1=t^2+2t-2$

(2)　$f(\theta )$ の最大・最小を求めよ。また、そのときの $\theta$ を求めよ。

(1) で変形した式を用います。$t$ の式に変換されているため、二次関数の最大・最小をまずは求めます。

$f(t)=t^2+2t-2=(t+1{)}^2-3$

頂点 $(-1$,　$-3)$

また、$t=\sin \theta +\cos \theta$ より

合成すると、$t=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

よって、$-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$

以上のことを踏まえて、グラフを描く。

グラフより、

$t=-1$ のとき最小値 $-3$

$t=\sqrt{2}$ のとき最大値なので、

$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{2}-2$
　$=2+2\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}$

よって、まとめると、

$t=-1$ のとき最小値 $-3$
$t=\sqrt{2}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$

$t=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ より

$t=-1$ を代入すると、

$-1=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}$
$\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{5}{4}\pi }}$,　${\displaystyle \frac{7}{4}\pi }$
$\theta =\pi$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

$t=\sqrt{2}$ を代入すると、

$\sqrt{2}=\sqrt{2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$1=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{1}{2}\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$

したがって、

$\theta =\pi$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$ のとき最小値 $-3$
$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$

おわりに

今回は、サイン＋コサインを文字において変換する関数問題でした。

これらの公式が理解できていないと難しく感じたかもしれません。