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【三角関数】『三角方程式』三角比が2種類含まれた三角方程式

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三角比が2種類含まれた三角方程式

今回は三角比が2種類含まれた三角方程式です!

今回扱う問題

2cos2θ+sinθ1=0

sinθcosθ が混在してますね… このままだと、計算することができません。そこで、ある公式を使って sinθ もしくは cosθ に揃えていきます!

では、使用する公式について確認しましょう!

三角比の相互関係

三角比の相互関係

sin2θ+cos2θ=1

tanθ=sinθcosθ

tan2θ+1=1cos2θ

sinθ もしくは cosθ に揃うように三角比の相互関係を駆使して式変形をしましょう。

三角比が2種類含まれた三角方程式の解法手順

STEP1 三角比を揃える
STEP2 三角比を文字に置く
STEP3 二次方程式を解く
STEP4 文字を三角比に戻す
STEP5 三角一次方程式を解く

「STEP 1 三角比を揃える」について
三角比を揃える方法は3パターンあります。詳しく知りたい方はこちらをチェック

三角比が2種類含んだ三角方程式(問題)

0θ2π のとき、次の方程式を解け。

 2cos2θ+sinθ1=0

答案の例

2cos2θ+sinθ1=0

sin2θ+cos2θ=1 より

2(1sin2θ)+sinθ1=0
22sin2θ+sinθ1=0
2sin2θ+sinθ+1=0

sinθ=t とおくと、

2t2+t+1=0
(2t+1)(t+1)=0
t=12, 1

sinθ=12, 1

sinθ=12 (0θ2π)

θ=210, 330

よって、θ=76π, 116π

sinθ=1 (0θ2π)

θ=90

よって、θ=12π

したがって、θ=12π, 76π, 116π

解説

STEP1 三角比を揃える

2cos2θ+sinθ1=0
sin2θ+cos2θ=1 より
cos2θ=1sin2θ

よって、

2(1sin2θ)+sinθ1=0
22sin2θ+sinθ1=0
2sin2θ+sinθ+1=0

STEP2 三角比を文字に置く

sinθ=t とおくと、2t2+t+1=0

STEP3 二次方程式を解く

2t2+t+1=0
(2t+1)(t+1)=0
t=12, 1

STEP4 文字を三角比に戻す

sinθ=12, 1

また、0θ2π

STEP5 三角一次方程式を解く

sinθ=12 (0θ2π)

θ=210, 330

よって、θ=76π, 116π

sinθ=1 (0θ2π)

θ=90

よって、θ=12π

したがって、θ=12π, 76π, 116π

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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  • 公務員試験の数学
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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