【三角関数】『三角方程式』三角比が2種類含まれた三角方程式

三角比が2種類含まれた三角方程式

今回は三角比が2種類含まれた三角方程式です！

\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) が混在してますね… このままだと、計算することができません。そこで、ある公式を使って \(\sin\theta\) もしくは \(\cos\theta\) に揃えていきます！

では、使用する公式について確認しましょう！

三角比の相互関係

\(\sin\theta\) もしくは \(\cos\theta\) に揃うように三角比の相互関係を駆使して式変形をしましょう。

三角比が2種類含まれた三角方程式の解法手順

STEP１　三角比を揃える
STEP２　三角比を文字に置く
STEP３　二次方程式を解く
STEP４　文字を三角比に戻す
STEP５　三角一次方程式を解く

「STEP 1　三角比を揃える」について
三角比を揃える方法は3パターンあります。詳しく知りたい方はこちらをチェック

三角比が2種類含んだ三角方程式（問題）

\(0\leq\theta \leq 2\pi\) のとき、次の方程式を解け。

　\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)

答案の例

\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より

\(2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-1=0\)
\(2-2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(-2\sin^2\theta+\sin\theta+1=0\)

\(\sin\theta=t\) とおくと、

\(-2t^2+t+1=0\)
\((2t+1)(-t+1)=0\)
\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\),　\(1\)

\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\),　\(1\)

① \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)

\(\theta=210^\circ\),　\(330^\circ\)

よって、\(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)

② \(\sin\theta=1\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)

\(\theta=90^\circ\)

よって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\)

したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\),　\(\displaystyle\frac{7}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)

解説

STEP１　三角比を揃える

\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より
\(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\)

よって、

\(2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-1=0\)
\(2-2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(-2\sin^2\theta+\sin\theta+1=0\)

STEP２　三角比を文字に置く

\(\sin\theta=t\) とおくと、\(-2t^2+t+1=0\)

STEP３　二次方程式を解く

\(-2t^2+t+1=0\)
\((2t+1)(-t+1)=0\)
\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\),　\(1\)

STEP４　文字を三角比に戻す

\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\),　\(1\)

また、\(0\leq \theta\leq 2\pi\)

STEP５　三角一次方程式を解く

① \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)

\(\theta=210^\circ\),　\(330^\circ\)

よって、\(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)

② \(\sin\theta=1\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)

\(\theta=90^\circ\)

よって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\)

したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\),　\(\displaystyle\frac{7}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)

おわりに