三角比が2種類含まれた三角方程式
今回は三角比が2種類含まれた三角方程式です！
今回扱う問題
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) が混在してますね… このままだと、計算することができません。そこで、ある公式を使って \(\sin\theta\) もしくは \(\cos\theta\) に揃えていきます！
では、使用する公式について確認しましょう！
三角比の相互関係
三角比の相互関係
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(\tan^2\theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\)
\(\sin\theta\) もしくは \(\cos\theta\) に揃うように三角比の相互関係を駆使して式変形をしましょう。
三角比が2種類含まれた三角方程式の解法手順
STEP１ 三角比を揃える
STEP２ 三角比を文字に置く
STEP３ 二次方程式を解く
STEP４ 文字を三角比に戻す
STEP５ 三角一次方程式を解く
「STEP 1 三角比を揃える」について
三角比を揃える方法は3パターンあります。詳しく知りたい方はこちらをチェック
三角比が2種類含んだ三角方程式（問題）
\(0\leq\theta \leq 2\pi\) のとき、次の方程式を解け。
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
＞＞詳細はこちらから
答案の例
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より
\(2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-1=0\)
\(2-2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(-2\sin^2\theta+\sin\theta+1=0\)
\(\sin\theta=t\) とおくと、
\(-2t^2+t+1=0\)
\((2t+1)(-t+1)=0\)
\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
① \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=210^\circ\), \(330^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
② \(\sin\theta=1\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=90^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\)
したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\), \(\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
解説
STEP１ 三角比を揃える
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より
\(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\)
よって、
\(2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-1=0\)
\(2-2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\)
\(-2\sin^2\theta+\sin\theta+1=0\)
STEP２ 三角比を文字に置く
\(\sin\theta=t\) とおくと、\(-2t^2+t+1=0\)
STEP３ 二次方程式を解く
\(-2t^2+t+1=0\)
\((2t+1)(-t+1)=0\)
\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
STEP４ 文字を三角比に戻す
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(1\)
また、\(0\leq \theta\leq 2\pi\)
STEP５ 三角一次方程式を解く
① \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=210^\circ\), \(330^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
② \(\sin\theta=1\) \((0\leq \theta\leq 2\pi)\)
\(\theta=90^\circ\)
よって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\)
したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\), \(\displaystyle\frac{7}{6}\pi\), \(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
『統計の扉』で書いている記事
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。