【三角関数】『三角方程式』三角比が2種類含まれた三角方程式

三角比が2種類含まれた三角方程式

今回は三角比が2種類含まれた三角方程式です！

$\sin \theta$ と $\cos \theta$ が混在してますね… このままだと、計算することができません。そこで、ある公式を使って $\sin \theta$ もしくは $\cos \theta$ に揃えていきます！

では、使用する公式について確認しましょう！

三角比の相互関係

$\sin \theta$ もしくは $\cos \theta$ に揃うように三角比の相互関係を駆使して式変形をしましょう。

三角比が2種類含まれた三角方程式の解法手順

STEP１　三角比を揃える
STEP２　三角比を文字に置く
STEP３　二次方程式を解く
STEP４　文字を三角比に戻す
STEP５　三角一次方程式を解く

「STEP 1　三角比を揃える」について
三角比を揃える方法は3パターンあります。詳しく知りたい方はこちらをチェック

三角比が2種類含んだ三角方程式（問題）

$0\le \theta \le 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

　$2{\cos }^2\theta +\sin \theta -1=0$

答案の例

$2{\cos }^2\theta +\sin \theta -1=0$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

$2(1-{\sin }^2\theta )+\sin \theta -1=0$
$2-2{\sin }^2\theta +\sin \theta -1=0$
$-2{\sin }^2\theta +\sin \theta +1=0$

$\sin \theta =t$ とおくと、

$-2t^2+t+1=0$
$(2t+1)(-t+1)=0$
$t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$1$

$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$1$

① $\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $(0\le \theta \le 2\pi )$

$\theta ={210}^{\circ }$,　${330}^{\circ }$

よって、$\theta ={\displaystyle \frac{7}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{11}{6}\pi }$

② $\sin \theta =1$ $(0\le \theta \le 2\pi )$

$\theta ={90}^{\circ }$

よって、$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}\pi }$

したがって、$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}\pi }$,　${\displaystyle \frac{7}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{11}{6}\pi }$

解説

STEP１　三角比を揃える

$2{\cos }^2\theta +\sin \theta -1=0$
${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より
${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$

よって、

$2(1-{\sin }^2\theta )+\sin \theta -1=0$
$2-2{\sin }^2\theta +\sin \theta -1=0$
$-2{\sin }^2\theta +\sin \theta +1=0$

STEP２　三角比を文字に置く

$\sin \theta =t$ とおくと、$-2t^2+t+1=0$

STEP３　二次方程式を解く

$-2t^2+t+1=0$
$(2t+1)(-t+1)=0$
$t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$1$

STEP４　文字を三角比に戻す

$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$1$

また、$0\le \theta \le 2\pi$

STEP５　三角一次方程式を解く

① $\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $(0\le \theta \le 2\pi )$

$\theta ={210}^{\circ }$,　${330}^{\circ }$

よって、$\theta ={\displaystyle \frac{7}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{11}{6}\pi }$

② $\sin \theta =1$ $(0\le \theta \le 2\pi )$

$\theta ={90}^{\circ }$

よって、$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}\pi }$

したがって、$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}\pi }$,　${\displaystyle \frac{7}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{11}{6}\pi }$

おわりに