【対数関数】『対数方程式』対数が含まれた方程式

対数方程式

今回は対数が含まれた方程式の解き方です！

対数の公式を駆使するのが難しいところですが、しっかりと公式を覚えて、最初のうちは公式を見ながら式形できるように解き進めましょう。

①　実数を対数で表す際に使用する公式
例）\(3\) を底 \(2\) の対数で表したい時、\(3=3\log_2 2\)

③　対数の底が揃っている時に使える公式

対数方程式（問題）

次の方程式を解け。

\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)

答案の例

\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)

真数条件より

\(x\geq 0\),　\(x-2\geq 0\)
\(x\geq 0\),　\(x\geq 2\)

よって、\(x\geq 2\)

\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(\log_3 {x\times (x-2)}=\log_3 3\)
\(\log_3 (x^2-2x)=\log_3 3\)

\(x^2-2x=3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x-3)(x+1)=0\)
\(x=3\),　\(-1\)

\(x\geq 2\) より \(x=3\)

解説

STEP1 真数条件を確認する。つまり、（真数）\(\geq 0\) であることから \(x\) の満たす範囲を求める。

\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)

\(x\geq 0\),　\(x-2\geq 0\)
\(x\geq 0\),　\(x\geq 2\)

よって、\(x\geq 2\)

STEP2 方程式を整理する

\(\log_3 x+\log_3 (x-2)=1\)
\(\log_3 {x\times (x-2)}=\log_3 3\)
\(\log_3 (x^2-2x)=\log_3 3\)

したがって、

\(x^2-2x=3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x-3)(x+1)=0\)
\(x=3\),　\(-1\)

\(x\geq 2\) より \(x=3\)

おわりに

今回は、ログが含まれた方程式の解き方でした。

対数独特の公式を覚えることは当然ですが、実際に使えるように演習を重ねましょう。公式を無理して覚えようとしなくても良いです。公式を眺めながら解くということを繰り返せば、自ずと覚えられます。