【対数関数】『対数方程式』対数が含まれた方程式

対数方程式

今回は対数が含まれた方程式の解き方です！

対数の公式を駆使するのが難しいところですが、しっかりと公式を覚えて、最初のうちは公式を見ながら式形できるように解き進めましょう。

①　実数を対数で表す際に使用する公式
例）$3$ を底 $2$ の対数で表したい時、$3=3{\log }_{2}2$

③　対数の底が揃っている時に使える公式

対数方程式（問題）

次の方程式を解け。

${\log }_{3}x+{\log }_3(x-2)=1$

答案の例

${\log }_{3}x+{\log }_3(x-2)=1$

真数条件より

$x\ge 0$,　$x-2\ge 0$
$x\ge 0$,　$x\ge 2$

よって、$x\ge 2$

${\log }_{3}x+{\log }_3(x-2)=1$
${\log }_{3}x\times (x-2)={\log }_{3}3$
${\log }_3(x^2-2x)={\log }_{3}3$

$x^2-2x=3$
$x^2-2x-3=0$
$(x-3)(x+1)=0$
$x=3$,　$-1$

$x\ge 2$ より $x=3$

解説

STEP1 真数条件を確認する。つまり、（真数）$\ge 0$ であることから $x$ の満たす範囲を求める。

${\log }_{3}x+{\log }_3(x-2)=1$

$x\ge 0$,　$x-2\ge 0$
$x\ge 0$,　$x\ge 2$

よって、$x\ge 2$

STEP2 方程式を整理する

${\log }_{3}x+{\log }_3(x-2)=1$
${\log }_{3}x\times (x-2)={\log }_{3}3$
${\log }_3(x^2-2x)={\log }_{3}3$

したがって、

$x^2-2x=3$
$x^2-2x-3=0$
$(x-3)(x+1)=0$
$x=3$,　$-1$

$x\ge 2$ より $x=3$

おわりに

今回は、ログが含まれた方程式の解き方でした。

対数独特の公式を覚えることは当然ですが、実際に使えるように演習を重ねましょう。公式を無理して覚えようとしなくても良いです。公式を眺めながら解くということを繰り返せば、自ずと覚えられます。