【対数関数】最大・最小

対数関数の最大値・最小値

今回は対数関数の最大値・最小値の求め方についてです！

対数が含まれている場合の計算手順は、

① 対数を整理（底を揃える）
② 対数部分を文字に置き換える
③ 二次関数として解いていく

となります。

まずは必要な公式をチェックしていきましょう！

対数関数の底の変換公式

底が違うと計算も出来ないですし、文字に変換することもできません。

↓底の変換公式が不安な方は、こちらをチェック

対数のその他の公式

これらの公式も、対数の方程式を整理するために使用します。

ではここから例題を解いてみましょう！

対数関数の最大値・最小値の問題

$1\le x\le 8$ のとき、関数 $y=({\log }_{2}x{)}^2+8{\log }_{\frac{1}{4}}2x+{\log }_{2}32$ の最大値と最小値を求めよ。

解説

底が異なると対数部分を文字に置き換えることができないため、底の変換公式を用います。

$8{\log }_{\frac{1}{4}}2x$ の底を $2$ にする。

$8{\log }_{\frac{1}{4}}2x=8\cdot {\displaystyle \frac{{\log }_{2}2x}{{\log }_2{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

右辺の分子と分母に公式②と公式③、それぞれを使用する。

$8{\log }_{\frac{1}{4}}2x=8\cdot {\displaystyle \frac{{\log }_{2}2+{\log }_{2}x}{{\log }_{2}1-{\log }_{2}4}}$

${\log }_{2}2=1$,　${\log }_{2}1=0$,　${\log }_{2}4$ より

　$=8\cdot {\displaystyle \frac{1+{\log }_{2}x}{0-2}}$

　$=8\cdot {\displaystyle \frac{1+{\log }_{2}x}{-2}}$

　$=-4\times (1+{\log }_{2}x)$

よって、

（与式）$=({\log }_{2}x{)}^2+$ $8{\log }_{\frac{1}{4}}2x$ $+{\log }_{2}32$

　$=({\log }_{2}x{)}^2$ $-4\times (1+{\log }_{2}x)$ $+{\log }_{2}32$

　$=({\log }_{2}x{)}^2-4-4{\log }_{2}x+5$

　$=({\log }_{2}x{)}^2-4{\log }_{2}x+1$

${\log }_{2}x=t$ とおくと、式と定義域が変わります。

${\log }_{2}x=t$ のグラフを描いてみます。

$1\le x\le 8$ なので、グラフより $0\le t\le 3$ となる。

よって、ここからは、

　$y=t^2-4t+1$ $(0\le t\le 3)$ の最大値・最小値を求めます。

　$=(t-2{)}^2-4+1$

　$=(t-2{)}^2-3$

頂点 $(2$,　$-3)$

グラフより、

$t=2$ のとき最小値 $-3$
$t=0$ のとき最大値 $1$

$t=2$ より ${\log }_{2}x=t$ なので、

${\log }_{2}x=2$
${\log }_{2}x={\log }_{2}4$
　$x=4$

$t=0$ より ${\log }_{2}x=t$ なので、

${\log }_{2}x=0$
${\log }_{2}x={\log }_{2}1$
　$x=1$

よって、

$x=4$ のとき最小値 $-3$
$x=1$ のとき最大値 $1$

おわりに

今回は対数関数の最大値・最小値の求め方についてでした！