対数関数の最大値・最小値
今回は対数関数の最大値・最小値の求め方についてです!
対数関数の最大最小を求める問題を理解するためには、二次関数の最大最小の問題を習得しておく必要があります。
↓二次関数の最大値・最小値の問題はこちら
対数が含まれている場合の計算手順は、
① 対数を整理(底を揃える)
② 対数部分を文字に置き換える
③ 二次関数として解いていく
となります。
まずは必要な公式をチェックしていきましょう!
対数関数の底の変換公式
底の変換公式
\(\log_a b=\displaystyle\frac{\log_c b}{\log_c a}\) \(\cdots\) ①
底が違うと計算も出来ないですし、文字に変換することもできません。
↓底の変換公式が不安な方は、こちらをチェック
対数のその他の公式
\(a>0\), \(a\neq 1\), \(M>0\), \(N>0\), \(k\) が実数のとき、
\(\log_a M+\log_a N=\log_a MN\) \(\cdots\) ②
\(\log_a M-\log_a N=\log_a \displaystyle\frac{M}{N}\) \(\cdots\) ③
\(k\log_a M=\log_a M^k\) \(\cdots\) ④
これらの公式も、対数の方程式を整理するために使用します。
ではここから例題を解いてみましょう!
対数関数の最大値・最小値の問題
\(1\leq x\leq 8\) のとき、関数 \(y=(\log_2 x)^2+8\log_{\frac{1}{4}} 2x+\log_2 32\) の最大値と最小値を求めよ。
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解説
\(8\log_{\frac{1}{4}} 2x\) の底を \(2\) にする。
底の変換公式
\(\log_a b=\displaystyle\frac{\log_c b}{\log_c a}\)
\(8\log_{\frac{1}{4}} 2x=8\cdot \displaystyle\frac{\log_2 2x}{\log_2 \displaystyle\frac{1}{4}}\)
\(8\log_{\frac{1}{4}} 2x=8\cdot \displaystyle\frac{\log_2 2+\log_2 x}{\log_2 1-\log_2 4}\)
\(\log_2 2=1\), \(\log_2 1=0\), \(\log_2 4\) より
\(=8\cdot \displaystyle\frac{1+\log_2 x}{0-2}\)
\(=8\cdot \displaystyle\frac{1+\log_2 x}{-2}\)
\(=-4\times (1+\log_2 x)\)
よって、
(与式)\(=(\log_2 x)^2+\) \(8\log_{\frac{1}{4}} 2x\) \(+\log_2 32\)
\(=(\log_2 x)^2\) \(-4\times (1+\log_2 x)\) \(+\log_2 32\)
\(=(\log_2 x)^2-4-4\log_2 x+5\)
\(=(\log_2 x)^2-4\log_2 x+1\)
\(\log_2 x=t\) とおくと、式と定義域が変わります。
\(\log_2 x=t\) のグラフを描いてみます。
\(1\leq x\leq 8\) なので、グラフより \(0\leq t\leq 3\) となる。
よって、ここからは、
\(y=t^2-4t+1\) \((0\leq t \leq 3)\) の最大値・最小値を求めます。
\(=(t-2)^2-4+1\)
\(=(t-2)^2-3\)
頂点 \((2\), \(-3)\)
グラフより、
\(t=2\) のとき最小値 \(-3\)
\(t=0\) のとき最大値 \(1\)
\(t=2\) より \(\log_2 x=t\) なので、
\(\log_2 x=2\)
\(\log_2 x=\log_2 4\)
\(x=4\)
\(t=0\) より \(\log_2 x=t\) なので、
\(\log_2 x=0\)
\(\log_2 x=\log_2 1\)
\(x=1\)
よって、
\(x=4\) のとき最小値 \(-3\)
\(x=1\) のとき最大値 \(1\)
おわりに
今回は対数関数の最大値・最小値の求め方についてでした!
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!
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