【微分】『接線の方程式』接線の方程式を求める公式を解説

接線の方程式

接線を求めるために必要な要素は、接点と傾きです。

接点と傾きは、問いに与えられている時もあれば与えられていない時もあります。

接線の方程式を求めるための公式

接線の方程式（問題）

点 $(2$,　$-2)$ から曲線 $y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3-x}$ に引いた接線の方程式を求めよ。

答案の例

接点 $(t$,　${\displaystyle \frac{1}{3}{t}^3-t)}$ とおき、さらに $y=f(x)$ とおく。

$f^{\prime }(x)=x^2-1$
$f^{\prime }(t)=t^2-1$

公式に代入すると、

$y-\left({\displaystyle 13t^3-t}\right)=(t^2-1)(x-t)$
$y-\left({\displaystyle 13t^3-t}\right)=(t^2-1)x-(t^2-1)t$
$y-\left({\displaystyle 13t^3-t}\right)=(t^2-1)x-t^3+t$
$y=(t^2-1)x-t^3+t+{\displaystyle 13t^3-t}$
$y=(t^2-1)x-{\displaystyle 23t^3}$ $\cdots$ ※

ここで、接線 ※ は点 $(2$,　$-2)$ を通るので、

$-2=(t^2-1)\times 2-{\displaystyle 23t^3}$
$-2=2t^2-2-{\displaystyle 23t^3}$
$0=2t^2-{\displaystyle 23t^3}$
$-{\displaystyle 23t^3+2t^2=0}$
${\displaystyle 23t^3-2t^2=0}$
$2t^3-6t^2=0$
$2t^2(t-3)=0$
$t=0$,　$3$

$t=0$ のとき $y=-x$
$t=3$ のとき $y=8x-18$

解説

問題文に接点が明記されていないため、接点を文字に置く必要があります。

接点は、関数 $y$ を通るので、接点 $(t$,　${\displaystyle \frac{1}{3}{t}^3-t)}$ とおき、さらに $y=f(x)$ とおく。

$f(x)$ より傾きを求める

$f^{\prime }(x)=x^2-1$
$f^{\prime }(t)=t^2-1$ ← 傾き

接点と傾きを求めることができたので、公式に当てはめて接線の方程式を求める。
※　全て $t$ で表されてるので、扱いづらいがそのまま公式に当てはめる。

$y-\left({\displaystyle 13t^3-t}\right)=(t^2-1)(x-t)$
$y-\left({\displaystyle 13t^3-t}\right)=(t^2-1)x-(t^2-1)t$
$y-\left({\displaystyle 13t^3-t}\right)=(t^2-1)x-t^3+t$
$y=(t^2-1)x-t^3+t+{\displaystyle 13t^3-t}$
$y=(t^2-1)x-{\displaystyle 23t^3}$ $\cdots$ ※

ここで、接線 ※ は点 $(2$,　$-2)$ を通るので、

$-2=(t^2-1)\times 2-{\displaystyle 23t^3}$
$-2=2t^2-2-{\displaystyle 23t^3}$
$0=2t^2-{\displaystyle 23t^3}$
$-{\displaystyle 23t^3+2t^2=0}$
${\displaystyle 23t^3-2t^2=0}$
$2t^3-6t^2=0$
$2t^2(t-3)=0$
$t=0$,　$3$

$t=0$ のとき ※ より接線は、$y=-x$ となる
$t=3$ のとき ※ より接線は、$y=8x-18$ となる

おわりに

今回は、微分で接線の方程式を求める方法についてでした。

接線の方程式に必要なのは、接点と傾きです。

接点が与えられているかどうか、傾きが与えられているかどうかは問題文をしっかりと読んで判断しましょう。