接線の方程式
接線を求めるために必要な要素は、接点と傾きです。
接点と傾きは、問いに与えられている時もあれば与えられていない時もあります。
接点が与えられていない時
→ 接点を文字に置く。
傾きが与えられていない時
→ 微分することにより求める。
接線の方程式を求めるための公式
\(y=f(x)\) 上の点 \((t\), \(f(t))\) における接線の方程式は、
\(y-f(t)=f'(t)(x-t)\) (\(f'(t)：接線の傾き)
接線の傾きを求める手順
① \(f(x)\) を微分をする。(\(f'(x)\) を求める)
② \(f'(x)\) の \(x\) 座標に接点の \(x\) 座標を代入する。
③ \(y-f(t)=f'(t)(x-t)\) に代入する
接線の方程式（問題）
点 \((2\), \(-2)\) から曲線 \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-x\) に引いた接線の方程式を求めよ。
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答案の例
接点 \((t\), \(\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t)\) とおき、さらに \(y=f(x)\) とおく。
\(f'(x)=x^2-1\)
\(f'(t)=t^2-1\)
公式に代入すると、
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)(x-t)\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-(t^2-1)t\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-t^3+t\)
\(y=(t^2-1)x-t^3+t+\displaystyle{1}{3}t^3-t\)
\(y=(t^2-1)x-\displaystyle{2}{3}t^3\) \(\cdots\) ※
ここで、接線 ※ は点 \((2\), \(-2)\) を通るので、
\(-2=(t^2-1)\times 2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-2=2t^2-2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(0=2t^2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-\displaystyle{2}{3}t^3+2t^2=0\)
\(\displaystyle{2}{3}t^3-2t^2=0\)
\(2t^3-6t^2=0\)
\(2t^2(t-3)=0\)
\(t=0\), \(3\)
\(t=0\) のとき \(y=-x\)
\(t=3\) のとき \(y=8x-18\)
解説
問題文に接点が明記されていないため、接点を文字に置く必要があります。
接点は、関数 \(y\) を通るので、接点 \((t\), \(\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t)\) とおき、さらに \(y=f(x)\) とおく。
\(f(x)\) より傾きを求める
\(f'(x)=x^2-1\)
\(f'(t)=t^2-1\) ← 傾き
接点と傾きを求めることができたので、公式に当てはめて接線の方程式を求める。
※ 全て \(t\) で表されてるので、扱いづらいがそのまま公式に当てはめる。
接点：\((t\), \(\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t)\)
傾き：\(t^2-1\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)(x-t)\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-(t^2-1)t\)
\(y-\left(\displaystyle{1}{3}t^3-t\right)=(t^2-1)x-t^3+t\)
\(y=(t^2-1)x-t^3+t+\displaystyle{1}{3}t^3-t\)
\(y=(t^2-1)x-\displaystyle{2}{3}t^3\) \(\cdots\) ※
ここで、接線 ※ は点 \((2\), \(-2)\) を通るので、
\(-2=(t^2-1)\times 2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-2=2t^2-2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(0=2t^2-\displaystyle{2}{3}t^3\)
\(-\displaystyle{2}{3}t^3+2t^2=0\)
\(\displaystyle{2}{3}t^3-2t^2=0\)
\(2t^3-6t^2=0\)
\(2t^2(t-3)=0\)
\(t=0\), \(3\)
\(t=0\) のとき ※ より接線は、\(y=-x\) となる
\(t=3\) のとき ※ より接線は、\(y=8x-18\) となる
おわりに
今回は、微分で接線の方程式を求める方法についてでした。
接線の方程式に必要なのは、接点と傾きです。
接点：問題にない時は、文字でおく。
傾き：微分した式に接点の 座標を代入する。
接点が与えられているかどうか、傾きが与えられているかどうかは問題文をしっかりと読んで判断しましょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
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