【微分】『共通接線』２つの放物線の共通接線

2つの放物線の共通接線

まずは共通接線のイメージをしてみましょう。イメージをするためには、曲線（今回は二次関数）のグラフが描ける必要があります。

共通接線のイメージ

このようにふたつ引くことが出来ます。
※　ここのグラフは100%正確に描く必要はありません。あくまでもイメージするためのものです。

接線の求め方がいまいちわからない方はこちらを先に解くと良いです。

共通接線(問題)

\(2\) つの放物線 \(y=-x^2\),　\(y=x^2-2x+5\) の共通接線の方程式を求めよ。

共通接線(答案の例)

\(f(x)=-x^2\),　\(g(x)=x^2-2x+5\) とおく。

接点 \((a\),　\(-a^2)\) とおくと、

\(f'(x)=-2x\)
\(f'(a)=-2a\)

よって、

\(y-(-a^2)=-2a(x-a)\)
\(y=-2ax+a^2\) \(\cdots\) ①

接点 \((b\),　\(b^2-2b+5)\) とおくと、

\(g'(x)=2x-2\)
\(g'(b)=2b-2\)

よって、

\(y-(b^2-2b+5)=(2b-2)(x-b)\)
\(y-b^2+2b-5=(2b-2)x-2b^2+2b\)
\(y=(2b-2)x-b^2+5\) \(\cdots\) ②

①,　②より \(-2a=2b-2\)

\(a+b=1\) \(\cdots\) ③
\(a^2=-b^2+5\)
\(a^2+b^2=5\) \(\cdots\) ④

③より、\(b=1-a\)

④に代入すると、

\(a^2+(1-a)^2=5\)
\(a^2+1-2a+a^2=5\)
\(2a^2-2a-4=0\)
\(a^2-a-2=0\)
\((a-2)(a+1)=0\)
\(a=2\),　\(-1\)

\(a=2\) のとき、\(y=-4x+4\)
\(a=-1\) のとき、\(y=x+1\)

共通接線(解説)

\(f(x)=-x^2\),　\(g(x)=x^2-2x+5\) とおく。

接点が与えられていないので、接点を文字におきます。

接点 \((a\),　\(-a^2)\) とおく。

\(f'(x)=-2x\) 接点の \(x\) 座標 \(a\) を代入すると、\(f'(a)=-2a\)

\(f'(a)=-2a\) は接線の傾きを表す。

よって、

\(y-(-a^2)=-2a(x-a)\)
\(y=-2ax+a^2\) \(\cdots\) ①

接点 \((b\),　\(b^2-2b+5)\) とおく。

\(g'(x)=2x-2\) 接点の \(x\) 座標 \(b\) を代入すると、\(g'(b)=2b-2\)

\(g'(b)=2b-2\) は接線の傾きを表す。

よって、

\(y-(b^2-2b+5)=(2b-2)(x-b)\)
\(y-b^2+2b-5=(2b-2)x-2b^2+2b\)
\(y=(2b-2)x-b^2+5\) \(\cdots\) ②

①,　② は共通接線なので傾きと切片が等しい。

傾きが等しいことより、\(-2a=2b-2\)

\(a+b=1\) \(\cdots\) ③

切片が等しいことより、\(a^2=-b^2+5\)

\(a^2+b^2=5\) \(\cdots\) ④

③より、\(b=1-a\)

④に代入すると、

\(a^2+(1-a)^2=5\)
\(a^2+1-2a+a^2=5\)
\(2a^2-2a-4=0\)
\(a^2-a-2=0\)
\((a-2)(a+1)=0\)
\(a=2\),　\(-1\)

それぞれを①に代入すると、

\(a=2\) のとき、\(y=-4x+4\)
\(a=-1\) のとき、\(y=x+1\)

おわりに

今回は、２つの放物線の共通接線についての問題でした。

接線の方程式に必要なのは、接点と傾きです。

接点：問題にない時は、文字でおく。
傾き：微分した式に接点の \(x\) 座標を代入する。

接点が与えられているかどうか、傾きが与えられているかどうかは問題文をしっかりと読んで判断しましょう。