【微分】『三次間数』微分することによるグラフの描き方

微分法を用いたグラフの描き方

今回は三次関数のグラフを描く問題です！

３次曲線とは、このように凹凸が２つ続くような曲線です。

この凹凸部分を求めるのがポイントになります。また、３次曲線を描くためには微分の基礎知識が必要となっており、高校数学の集大成であるといっても過言ではありません。把握しなければいけない定義や定理が複数存在しますので、確認しながら問題を解いていきましょう。

微分係数と導関数

導関数：微分した後の関数のこと
微分係数（接線の傾き）：導関数の変数に値を代入して求められる値のこと

接線の方程式の問題はこちらをチェック

関数の増減と極大・極小

微分法を用いたグラフの描き方（問題）

次の関数のグラフを描け。

　$y=-x^3+6x^2-9x+2$

答案の例

$y=f(x)$ とおくと $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-9$

$f^{\prime }(x)$ の正負により $f(x)$ の増減を調べるので、$f^{\prime }(x)$ のグラフを描いてみる。

$f^{\prime }(x)=0$ とすると、

$-3x^2+12x-9=0$
$x^2-4x+3=0$
$(x-3)(x-1)=0$
$x=1$,　$3$

解説

$y=f(x)$ とおくと $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-9$

STEP1　$f^{\prime }(x)$ の正負により $f(x)$ の増減を調べるので、$f^{\prime }(x)$ のグラフを描いてみます。

グラフの概形を書くと、

※　頂点の座標を知る必要はない。

STEP2　極値を求めます

$f^{\prime }(x)=0$ とすると、

$-3x^2+12x-9=0$
$x^2-4x+3=0$
$(x-3)(x-1)=0$
$x=1$,　$3$

STEP3　増減表を書きます

STEP4　極値を求めます

極値：点 $(1$,　$6)$,　点 $(3$,　$54)$ をうつ

STEP5　増減表を見ながらグラフを描く

おわりに

今回は、三次関数のグラフを描く問題でした。

三次関数のグラフを描くためには以下の単元を習得しておく必要があります。

・微分係数と導関数
・接線の方程式
・関数の増減と極大・極小

今回の問題が難しく感じた人は、これらの単元の習熟度が足りていない可能性が高いです。機械的にグラフを描くことは可能ですが、それだと応用問題に対応できません。しっかりと意味を理解してグラフを描けるようになりましょう。