数の体系
今回は、数の体系について話していきたいと思います。
数の体系に直接関係する問題は出題されませんが、数学の問題をスムーズに解くためのルールの一つです。
数の体系とは、簡単に言うと「数の種類をまとめた図」です。
数がどう拡張されてきたか？
小学低学年では、正の整数を使った計算をしてきました。
例）\(5-2=3\), \(153-69=84\)
小学中学年では、正の小数（分数）を使った計算をしてきました。
例）\(\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{5}{3}=\displaystyle\frac{7}{3}\)
小数まで拡張されることにより、整数と整数の間の数字を表せるようになりました。
中学生では、負の整数と根号まで拡張されました。
例）\(3-5=-2\)
例）\(\sqrt{2}=1.4142\cdots \)
このように、計算したいものによって数が拡張されてきました。逆を返せば、数が拡張されることによって計算の幅が広がったわけです。
数の体系の図
ではこれらの数がどのように位置付けられているのか、図を見てみましょう。
こちらの図をある程度頭に入れた状態で続きを読んでください。
「〜は実数とする。」と書かれた問題について
数学の問題文に時折出てくる、「〜は実数とする。」がどのように問題に影響を及ぼすのかを見てみましょう。
例題を２つ用意しました。それぞれ数の条件が異なるので注意しながら解いていきましょう。
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例題①（整数の範囲）
問題）\(x^4-4\) を”整数の範囲”で因数分解しなさい。
※「整数の範囲で」というのは、数の体系で言うと下線の数だけが存在するということです。
解答）
\(x^4-4=(x^2+2)(x^2-2)\)
整数の範囲でしか計算できないので、因数分解はここまでになります。
例題②（実数の範囲）
問題）\(x^4-4\) を”実数の範囲”で因数分解しなさい。
※「実数の範囲で」というのは数の体系で言うと下線の数だけが存在するということです。
解答）
\(x^4-4=(x^2+2)(x^2-2)\)
今回は、「実数の範囲で」計算するので、ここからさらに因数分解をすることができます。
\(=(x^2+2){x+\sqrt{2}}(x-\sqrt{2})\)
絶対値
\(|a|\) とは、数直線において原点から \(a\) までの距離のことである。
※ 絶対値は距離を表すので、絶対に正になる。
例題）\(|x-2|=4\) を解け。
この式を日本語で表すと、
→「原点からの距離が、\(4\) となる点が \(x-2\) となる。」
と書けます。
よって、
\begin{eqnarray} x-2&=&\pm{4}\\ x&=&2\pm{4}\\ &=&6, -2 \end{eqnarray}平方根
平方根の定義
\(a\) の平方根とは、\(2\) 乗すると \(a\) になる数のことです。
公式
\(a>0\), \(b>0\), \(k>0\) のとき、
1. \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
2. \(\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\)
3. \(\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\)
例題）
(1) \(\sqrt{2}\sqrt{5}=\sqrt{2\times 5}=\sqrt{10}\)
(2) \(\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\displaystyle\frac{10}{6}}=\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}\)
(3) \(\sqrt{18}=\sqrt{3^2\times 2}=3\sqrt{2}\)
おわりに
今回は、数の体系について話してきました。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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