【数列】『数列の基本』数列で確認すべき２つのこと

今回は、数列の基本について話していきます！

数列に関する詳しい説明は別でお話ししますが、その名の通り数の列です。

先述したように、必ず $60000$ 円をもらえるとは限りません。しかし、未来を予想する $1$ つの指標として活用することが出来るでしょう。

では、数列についてもう少し詳しく見ていきましょう！

数列とは

数にはいろいろな種類があります。

整数、分数、無理数、・・・

こういった「数」が、ある規則で順番に並んで「列」を成しているとき、それを数列といいます。

例えば、$2$,　$4$,　$6$,　$8$,　$10$

という数列は、「右にズレるにつれて $2$ ずつ足されている。（もしくは左にズレるにつれて $2$ ずつ引かれている）」という規則を持っていますね。

高校数学における数列の目的とは？

目的①　一般項を求める

一般項とは、数列の第 $n$ 項を $n$ の式で表したもの

一般項について説明していきます。一般的に、数列の各項は番号で表されます。

$2$,　$4$,　$6$,　$8$,　$10$ であれば、

　$2$（初項）⇒ $1$番目の数
　$4$　　　　⇒ $2$番目の数

などのように呼ばれます。このとき、各々の番号の数を、 $a$ などの文字を用いて、$a_1$、$a_2$などのように表します。つまり上記の例であれば、

　$a_1=2$
　$a_2=4$

などのように数が対応することになるのです。そして、仮にこの数列がもっと多くの項をもっていた場合は、

　$100$ 番目の数は「 $a_{100}$ 」
　$200$ 番目の数は「 $a_{200}$ 」

などのように表されることになり、今回の例でそれらに対応する数を考えると、

　$a_{100}=200$
　$a_{200}=400$

と予想できるかと思います。では、具体的な番号ではなく、任意の番号（仮に $n$ 番目とする）である $a_n$ に対応する数を、文字を使って一般的に表そうとすると、どうなるのでしょうか？

この $a_n$ に対応する数を文字を使って表すことが、数列の問題における主な目的となります。

例えば今回の例であれば、

　$a_1=2$
　$a_2=4$
　$a_{100}=200$
　$a_{200}=400$

という情報を整理すると、$a_n=2n$ という式になりますね。

仮にこの式の $n$ に $300$ を代入すると、$a_{300}=600$ となるので、$300$ 番目の数は $600$ であると分かるわけですね。

目的②　漸化式を求める

漸化式とは、$n$ 番目の値と $n+1$ 番目の値の関係性

目的 ① のように一般項が求められていないときもあります。一般項がわかっていなくても、漸化式というものがわかっているだけでも得られる情報は多くあります。

例えば、$n$ 番目の値と $n+1$ 番目の値の関係性が

　$a_{n+1}-a_n=2$

だったとします。この漸化式は、ある $n$ 番目の数は、次の $n+1$ 番目になると$+2$ されることを表す数列であることがわかります。

このように、 具体的な値がわからなくても、お隣さん同士の関係性がわかるだけでも、得られる情報は多くあります。高校数学の数列では、漸化式を求める問題や漸化式から一般項を求める問題が頻繁に出題されます。具体的な問題に関しては、別の記事で詳しく扱っていきますね。

おわりに

高校数学で学習する数列の主な目的は、

「一般項を求める問題」や「漸化式を求める問題」

でした。

また、数列の単元内に収まらず、確率や関数といった単元と絡めた問題も頻出問題となっています。難しい問題も多いですが、この記事を基盤として問題を扱っていきましょう。