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【数列】『等差数列』一般項と和の一般項

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等差数列

今回は、等差数列の一般項と和の一般項の問題です。

公式を覚えられていれば、そこまで難しい問題ではないかと思います。また、和の一般項の公式は 2 つあり、状況に応じて使い分ける必要があります。どちらの公式を使用するかは問いの条件をよく見て判断しましょう。

等差数列の一般項の公式

a:初項, n:項数, d:公差

 an=a1+(n1)d

等差数列の和の公式

n:項数, a:初項, l:末項,

d:公差

 Sn=12n(a+l) 公式①

 Sn=12n{2a+(n1)d} 公式②

末項がわかっていたら、公式①
公差がわかっていたら、公式②

この 2 つの見た目は違いますが、実は①を少し変形したものが②になります。これらを別々の公式として覚える必要は本来はないです。今回は最初ということで、あえてこれらを効率よく使って問題を解いていきます。

等差数列の問題

次の問いに答えなさい。

(1) 数列 1, 4, 7,  の一般項 an を求めよ。

(2) 数列 1, 4, 7, , 97 の和 S を求めよ。

(3) 初項 200, 公差 5 の等差数列の初項から第 100 項までの和 S を求めよ。

答案の例

( 1 )

an=a1+(n1)d より

初項は a=1、公差 d=3 なので、

an=1+(n1)×3
 =1+3n3
 =3n2

( 2 )

( 1 ) より an=3n2 なので、an=97 のときの n を求めていきます。

97=3n2
3n=99
n=33

Sn=12n(a+l) より

初項は a=1、末項は l=97、項数は より n=33 なので、

S33=12×33×(1+97)
 =12×33×98
 =33×49=1617

( 3 )

「初項から第 100 項まで」より項数は、100

Sn=12n{2a+(n1)d} より

項数は n=100、初項は a=200、公差は d=5 なので、

S100=12×100{2×200+(1001)×(5)}
 =50(400500+5)
 =50×(95)=4750

解説

( 1 )

一般項の公式を用いる

an=a1+(n1)d より

 初項:a=1
 公差:d=3

このように、各文字に当てはまる数値を上げておくと公式が使いやすくなる!

よって、

an=1+(n1)×3
 =1+3n3
 =3n2

( 2 )

( 1 ) より an=3n2 なので、an=97 のときの n を求めていきます。

97=3n2
3n=99
n=33

和の一般項の公式を用いる

Sn=12n(a+l) より

 初項:a=1
 末項:l=97
 項数: より n=33

このように、各文字に当てはまる数値を上げておくと公式が使いやすくなる!

今回は、末項がわかっているので、公式①を使用する。よって、

S33=12×33×(1+97)
 =12×33×98
 =33×49=1617

( 3 )

「初項から第 100 項まで」より項数は 100、「公差が 5 」と分かっているので、公式②を使用する。

和の一般項の公式を用いる

Sn=12n{2a+(n1)d} より

項数:n=100
初項:a=200
公差:d=5

このように、各文字に当てはまる数値を上げておくと公式が使いやすくなる!

これにより、

S100=12×100{2×200+(1001)×(5)}
 =50(400500+5)
 =50×(95)=4750

おわりに

今回は、等差数列の一般項と和の一般項でした。

公式を覚えることはもちろんですが、和の一般項が 2 種類あるので、それぞれの使うタイミングを押さえておきましょう。

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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