【数列】『等差数列』一般項と和の一般項

等差数列

今回は、等差数列の一般項と和の一般項の問題です。

公式を覚えられていれば、そこまで難しい問題ではないかと思います。また、和の一般項の公式は \(2\) つあり、状況に応じて使い分ける必要があります。どちらの公式を使用するかは問いの条件をよく見て判断しましょう。

等差数列の一般項の公式

等差数列の和の公式

末項がわかっていたら、公式①
公差がわかっていたら、公式②

この \(2\) つの見た目は違いますが、実は①を少し変形したものが②になります。これらを別々の公式として覚える必要は本来はないです。今回は最初ということで、あえてこれらを効率よく使って問題を解いていきます。

等差数列の問題

次の問いに答えなさい。

(1)　数列 \(1\),　\(4\),　\(7\),　\(\cdots\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。

(2)　数列 \(1\),　\(4\),　\(7\),　\(\cdots\),　\(97\) の和 \(S\) を求めよ。

(3)　初項 \(200\),　公差 \(-5\) の等差数列の初項から第 \(100\) 項までの和 \(S\) を求めよ。

答案の例

( \(1\) )

\(a_n=a_1+(n-1)d\) より

初項は \(a=1\)、公差 \(d=3\) なので、

\(a_n=1+(n-1)\)×\(3\)
　\(=1+3n-3\)
　\(=3n-2\)

( \(2\) )

( \(1\) ) より \(a_n=3n-2\) なので、\(a_n=97\) のときの \(n\) を求めていきます。

\(97=3n-2\)
\(-3n=-99\)
\(n=33\) \(\cdots\) \(\ast\)

\(S_n=\displaystyle \frac{1}{2}n(a+l)\) より

初項は \(a=1\)、末項は \(l=97\)、項数は \(\ast\) より \(n=33\) なので、

\(S_{33}=\displaystyle \frac{1}{2} \times 33 \times (1+97) \)
　\(=\displaystyle \frac{1}{2} \times 33 \times 98\)
　\(=33 \times 49=1617\)

( \(3\) )

「初項から第 \(100\) 項まで」より項数は、\(100\)

\(S_n=\displaystyle \frac{1}{2}n \left\{2a+(n-1)d \right\}\) より

項数は \(n=100\)、初項は \(a=200\)、公差は \(d=-5\) なので、

\(S_{100}=\displaystyle \frac{1}{2}\times 100 \left\{2\times 200+(100-1)\times (-5) \right\}\)
　\(=50(400-500+5)\)
　\(=50\times (-95)=-4750\)

解説

( \(1\) )

一般項の公式を用いる

\(a_n=a_1+(n-1)d\) より

　初項：\(a=1\)
　公差：\(d=3\)

このように、各文字に当てはまる数値を上げておくと公式が使いやすくなる！

よって、

\(a_n=1+(n-1)\)×\(3\)
　\(=1+3n-3\)
　\(=3n-2\)

( \(2\) )

( \(1\) ) より \(a_n=3n-2\) なので、\(a_n=97\) のときの \(n\) を求めていきます。

\(97=3n-2\)
\(-3n=-99\)
\(n=33\) \(\cdots\) \(\ast\)

和の一般項の公式を用いる

\(S_n=\displaystyle \frac{1}{2}n(a+l)\) より

　初項：\(a=1\)
　末項：\(l=97\)
　項数：\(\ast\) より \(n=33\)

このように、各文字に当てはまる数値を上げておくと公式が使いやすくなる！

今回は、末項がわかっているので、公式①を使用する。よって、

\(S_{33}=\displaystyle \frac{1}{2} \times 33 \times (1+97) \)
　\(=\displaystyle \frac{1}{2} \times 33 \times 98\)
　\(=33 \times 49=1617\)

( \(3\) )

「初項から第 \(100\) 項まで」より項数は \(100\)、「公差が \(-5\) 」と分かっているので、公式②を使用する。

和の一般項の公式を用いる

\(S_n=\displaystyle \frac{1}{2}n \left\{2a+(n-1)d \right\}\) より

項数：\(n=100\)
初項：\(a=200\)
公差：\(d=-5\)

このように、各文字に当てはまる数値を上げておくと公式が使いやすくなる！

これにより、

\(S_{100}=\displaystyle \frac{1}{2}\times 100 \left\{2\times 200+(100-1)\times (-5) \right\}\)
　\(=50(400-500+5)\)
　\(=50\times (-95)=-4750\)

おわりに

今回は、等差数列の一般項と和の一般項でした。

公式を覚えることはもちろんですが、和の一般項が \(2\) 種類あるので、それぞれの使うタイミングを押さえておきましょう。