【ベクトル】『ベクトルの定義』ベクトルの基礎・基本

ベクトル

ベクトルの基礎・基本について話していきます！

高校数学のベクトルは、平面ベクトルと空間ベクトルに分けられます。

空間ベクトルは少し難しい印象を受けると思いますが、切り取った断面図を見て問題を解く場合がほとんどです。断面図は平面なので、平面ベクトルを解くことと同じです。つまり、平面ベクトルをある程度理解できれば、同時に空間ベクトルも理解できるということです。

では、平面図形におけるベクトルの基本用語等を確認していきましょう！

ベクトルの基本事項

基本用語

ベクトルの相等について

ベクトルとは、向きと大きさを表したものです。

このように、$2$ つのベクトルの相等を考える時、どの位置にいるのか？は関係ありません。あくまでも向きと長さが一致した $2$ つのベクトルが等しいと言えます。

ベクトルの加法・減法・実数倍

ベクトルは、上述した通り、向きと大きさを表したものです。

・$\overrightarrow{a}=3$
・$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=5$

つまり、上述のように表されることはありません。「大きさ」は数値化されるので一見正しいように思えますが、ベクトルは「向き」も含まれているので、その性質にそぐいません

ベクトルの演算法則

実数の場合、

交換法則：$2+3=3+2$
結合法則：$(2+3)+4=2+(3+4)$ 等

が成り立ちます。ベクトルであっても同じような法則が成り立ちます。

ベクトルの演算法則

その他の演算法則

その他
$k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}$
$(k+l)\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}$
$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$

なぜこのような法則を確認する必要があるのか？それは、実数とベクトルの定義が違うからです。実数は、みなさんがよく知ってるただの数字ですし、ベクトルは、大きさと向きを含んだものです。定義が違うため、演算の法則も新たに確認する必要があるわけです。

ベクトルの平行

$\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ は、ベクトルの長さは違うけど、向きは同じであることを表している。

ベクトルの分割

ベクトルの始点を変えたい時に、ベクトルの分割を使う。

ベクトルの分割
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

この公式を解説していきます。

まず、下図のような図を描く。

$\overrightarrow{AB}$ は始点が $A$ で終点が $B$ です。

点 $A$ と 点 $B$ を終点として、始点にしたい点 $O$ を始点としてベクトルを引く。

図より $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

おわりに

今回は、ベクトルの基礎・基本について説明してきました。