【数列】『等比数列』一般項と和の一般項

等比数列

今回は、等比数列の一般項と和の一般項の問題です。

等差数列同様、公式を覚えられていれば問題なく解けるのではないかと思います。和を求める問題では、等差数列のときのように公式の中に含まれる文字の数が少し増えてきます。ここで重要なのは、公式を使うにはどんな情報が必要で、その情報は問題文から見出せるかを考えることです。

実際に上記の問題を使って、ポイントをおさえながら一緒に考えていきましょう。

和の公式として登場する頻度が高いのは、圧倒的に①です。また、末項がわかっていた場合、末項を $l$ として、

　$S_n={\displaystyle \frac{a-rl}{1-r}}$

などのように表すことができますが、使用頻度が低い上、①を使って導くことが容易なため、覚える必要はありません。

等比数列（問題）

次の問いに答えなさい。

( $1$ )　数列 $1$,　$2$,　$4$,　$\cdots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

( $2$ )　( $1$ ) の数列について，初項から第 $10$ 項までの和 $S_{10}$ を求めよ。

( $3$ )　初項 $7$,　公比 $3$ の等比数列の初項から第 $5$ 項までの和 $S_5$ を求めよ。

答案の例

( $1$ )

初項は $1$ 、公比は $2$ なので、$a_n=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$

( $2$ )

第 $n$ 番目の項までの和（ $S_n$ ）は $S_n={\displaystyle \frac{1\cdot (2^n-1)}{2-1}=2^n-1}$ となる。項数は $10$ なので、

$S_{10}=2^{10}-1=1023$

となる。

( $3$ )

$S_n={\displaystyle \frac{7\cdot (3^n-1)}{3-1}={\displaystyle \frac{7\cdot (3^n-1)}{2}}}$

となる。初項（第 $1$ 項）から第 $5$ 項までの和なので、$n=5$ となり、

$S_5={\displaystyle \frac{7\cdot (3^5-1)}{2}}$
$={\displaystyle \frac{7\cdot (242)}{2}}$
$=7\cdot 121=847$

解説

( $1$ )

$a_n=a{r}^{n-1}$  より、この公式を使うためには、初項（ $a$ ）と公比（ $r$ ）という $2$ つの情報が必要です。一般項を求めることは、第 $n$ 番目の項を求めることに等しいので、 $n$ という文字はそのまま残っていても問題ないわけです。これは等差数列の一般項と同じですね。

今回、初項は $1$ 、公比は $2$ なので、$a_n=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$ という結果となります。

( $2$ )

今回は和を求める問題です。( $1$ ) の数列で、公比が $2$ であったことから、$r\ne 1$ なので、和の公式の①を使うことになります。①を使い、 $S_n$ を求めてみましょう。

①の公式を活用する場合、必要な情報は ( $1$ ) と同様、初項と公比の $2$ つです。これにより、ひとまず第 $n$ 番目の項までの和（ $S_n$ ）を求めることができます。

よって、

$S_n={\displaystyle \frac{1\cdot (2^n-1)}{2-1}=2^n-1}$

となりますね。

ここで、今回は初項（第 $1$ 項）から第 $10$ 項までの和を求めるので、項数である $n$ は $10$ ということになり、答えは

$S_{10}=2^{10}-1=1023$

となります。

( $3$ )

この問題では、( $2$ ) とは初項と公比の値は違いますが、和を問われていることに変わりはありません。よって、ここで必要な情報は ( $2$ ) と変わらず、初項と公比の $2$ つです。あとはこれらを公式に当てはめ、

$S_n={\displaystyle \frac{7\cdot (3^n-1)}{3-1}={\displaystyle \frac{7\cdot (3^n-1)}{2}}}$

となります。今回は、初項（第 $1$ 項）から第 $5$ 項までの和なので、$n=5$ となり、

$S_5={\displaystyle \frac{7\cdot (3^5-1)}{2}}$
$={\displaystyle \frac{7\cdot (242)}{2}}$
$=7\cdot 121=847$

という結果となります。

おわりに

今回は、等比数列の一般項と和の一般項の問題でした。