【ベクトル】『成分表示』ベクトルを成分表示して解く問題

ベクトルの成分表示

ベクトルといえば、向きと大きさで表されるものですね。

\(\overrightarrow{a}=3\)としたくなりますが、ベクトルは大きさだけでなく、向きも含めた概念です。そのためこのように表すことはできませ。

しかし、\(\overrightarrow{a}=(1\),　\(2)\) のように、座標で表すことによって座標平面上で扱うことはできます。

ベクトルの大きさを求める公式

\(\overrightarrow{a}=(a_1\),　\(a_2)\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
\(|\overrightarrow{a}|^2=a_1^2+a_2^2\)

内積の求め方

\(\overrightarrow{a}=(a_1\),　\(a_2)\),　\(\overrightarrow{b}=(b_1\),　\(b_2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\times b_1+a_2\times b_2\)

ベクトルの成分表示の問題

\(\overrightarrow{a}=(2\),　\(1)\),　\(\overrightarrow{b}=(3\),　\(4)\) に対して、

\(|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値を求めよ。

答案の例

\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=(2\),　\(1)+\) \(t(3\),　\(4)\)
\(=(2+3t\),　\(1+4t)\)

よって、

\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(2+3t)^2+(1+4t)^2\)
\(=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)
\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)

グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)

（別解）※　計算が少し複雑です。

\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)

ここで、

\(|\overrightarrow{a}|^2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)
\(|\overrightarrow{b}|^2=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3+1\times 4=10\)

よって、

\(|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)
\(=\sqrt{5}^2+2t\times 10+5^2\cdot t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)
\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)

グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)

解説

\(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) を成分表示する

\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(2\),　\(1)+\) \(t(3\),　\(4)\)
\(=(2+3t\),　\(1+4t)\)

成分表示できたので、次に \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\) を求める。

\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(2+3t)^2+(1+4t)^2\)
\(=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)

平方完成をする

\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)

グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)

（別解）※　計算が少し複雑です。

\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) を \(2\) 乗する

\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)

\(|\overrightarrow{a}|\) と \(|\overrightarrow{b}|\) の大きさを求める。

\(|\overrightarrow{a}|^2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)
\(|\overrightarrow{b}|^2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{5}\)

内積 \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\) を求める

\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3+1\times 4=10\)

それぞれを代入する

\(|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)
\(=\sqrt{5}^2+2t\times 10+5^2\cdot t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)

平方完成をし、グラフを描く

\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)

グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)

おわりに

成分表示させることにより、いろんな計算が可能となりました。