【ベクトル】『位置ベクトル』位置ベクトルについての問題

位置ベクトル

今回は位置ベクトルについての問題を扱っていきます。

位置ベクトルの概念をしっかりと理解し、式を図に落とし込むことが重要です！

位置ベクトルとは？

位置ベクトルとは、$\overrightarrow{p}$ に対して、任意の点（どこの点でも良い）を始点（ここでは、点 $O$ とする。）にして、$\overrightarrow{p}=OP$ と表すことです。

式を図に落とし込むポイント

式を図に落とし込むために、始点を変更しなければいけない場合があります。

位置ベクトル（問題）

$\mathrm{△}ABC$ の内部に点 $P$ があり、

$6\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

を満たすとき、点 $P$ はどのような位置にあるか。

答案の例

とおくと、点 $D$ は、$\mathrm{△}ABC$ において線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点とわかる。$\cdots$ ①

① より

また、$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{5}{11}\overrightarrow{AD}}$

と表されるので、点 $P$ は、$\mathrm{△}ABC$ において線分 $AD$ を $5:6$ に内分する点とわかる。 $\cdots$ ②

② より

以上、①と②を整理して書くと、線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とすると、点 $P$ は線分 $AD$ を $5:6$ に内分する点である。

解説

そのためにまずは始点を変更してみましょう。今回の問題の式を見てみると、始点が $P$ になっていますね。このままだと点 $P$ の位置がよくわかりません。

点 $P$ の位置をわかりやすくするためには、三角形の頂点（点$A$）を始点にしましょう。

ここまで整理できたら、図に落とし込みましょう。

$\overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}}$

とおくと、点 $D$ は、$\mathrm{△}ABC$ において線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点とわかる。$\cdots$ ①

① より

また、$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{5}{11}}$ $\left({\displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}}\right)$

に $\overrightarrow{AD}=$ ${\displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}}$ を代入すると、

$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{5}{11}\overrightarrow{AD}}$

と表されるので、ここまで整理できたら、図に落とし込みましょう。

② より

①：点 $D$ は、$\mathrm{△}ABC$ において線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点とわかる。
②：点 $P$ は、$\mathrm{△}ABC$ において線分 $AD$ を $5:6$ に内分する点とわかる。

以上、①と②を整理して書くと、

線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とすると、点 $P$ は線分 $AD$ を $5:6$ に内分する点である。

おわりに

今回は、位置ベクトルについての問題でした。