【ベクトル】『位置ベクトル』位置ベクトルについての問題

位置ベクトル

今回は位置ベクトルについての問題を扱っていきます。

位置ベクトルの概念をしっかりと理解し、式を図に落とし込むことが重要です！

位置ベクトルとは？

位置ベクトルとは、\(\overrightarrow{p}\) に対して、任意の点（どこの点でも良い）を始点（ここでは、点 \(O\) とする。）にして、\(\overrightarrow{p}=OP\) と表すことです。

簡単に言えば、位置ベクトルとは「始点と終点が設定されたベクトル」と思っておけばOKです！

\(\triangle{ABC}\) において、線分 \(BC\) を \(m:n\) に内分する点を \(P\) とするとき、

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}\)

式を図に落とし込むポイント

式を図に落とし込むために、始点を変更しなければいけない場合があります。

位置ベクトル（問題）

\(\triangle{ABC}\) の内部に点 \(P\) があり、

\(6\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\)

を満たすとき、点 \(P\) はどのような位置にあるか。

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答案の例

とおくと、点 \(D\) は、\(\triangle{ABC}\) において線分 \(BC\) を \(2:3\) に内分する点とわかる。\(\cdots\) ①

① より

また、\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{5}{11}\overrightarrow{AD}\)

と表されるので、点 \(P\) は、\(\triangle{ABC}\) において線分 \(AD\) を \(5:6\) に内分する点とわかる。 \(\cdots\) ②

② より

以上、①と②を整理して書くと、線分 \(BC\) を \(2:3\) に内分する点を \(D\) とすると、点 \(P\) は線分 \(AD\) を \(5:6\) に内分する点である。

解説

そのためにまずは始点を変更してみましょう。今回の問題の式を見てみると、始点が \(P\) になっていますね。このままだと点 \(P\) の位置がよくわかりません。

点 \(P\) の位置をわかりやすくするためには、三角形の頂点（点\(A\)）を始点にしましょう。

ここまで整理できたら、図に落とし込みましょう。

\(\overrightarrow{AD}=\displaystyle\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

とおくと、点 \(D\) は、\(\triangle{ABC}\) において線分 \(BC\) を \(2:3\) に内分する点とわかる。\(\cdots\) ①

① より

また、\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{5}{11}\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)\)

に \(\overrightarrow{AD}=\) \(\displaystyle\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\) を代入すると、

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{5}{11}\overrightarrow{AD}\)

と表されるので、ここまで整理できたら、図に落とし込みましょう。

② より

①：点 \(D\) は、\(\triangle{ABC}\) において線分 \(BC\) を \(2:3\) に内分する点とわかる。
②：点 \(P\) は、\(\triangle{ABC}\) において線分 \(AD\) を \(5:6\) に内分する点とわかる。

以上、①と②を整理して書くと、

線分 \(BC\) を \(2:3\) に内分する点を \(D\) とすると、点 \(P\) は線分 \(AD\) を \(5:6\) に内分する点である。

おわりに

今回は、位置ベクトルについての問題でした。