【数列】漸化式

隣接２項間の漸化式

①　等差数列　$a_{n+1}-a_n=d$

②　等比数列　$a_{n+1}=r{a}_n$

③　階差数列　$a_{n+1}=a_n+f(n)$

④　$a_{n+1}=p{a}_n+q$

　(i)　$a_{n+1}=p{a}_n+q$

　(ii)　$a_{n+1}=p{a}_n+f(n)$

　(iii)　$a_{n+1}=p{a}_n+q^n$

　(iv)　$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{p{a}_n+q}}$

　(v)　$a_{n+1}=p{a}_n{}^q$

⑤　その他

　(i)　$a_{n+1}=f(n)a_n+q$

　(ii)　$a_n=f(n)a_{n-1}$

隣接３項間の漸化式　

$p{a}_{n+2}+q{a}_{n+1}+r{a}_n=0$

①　特性方程式の解 $\alpha$,　$\beta$ が $\alpha \ne \beta$ となる場合

②　特性方程式の解 $\alpha$,　$\beta$ が $\alpha =\beta$ となる場合

連立漸化式

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=p{a}_n+q{b}_n\\ b_{n+1}=r{a}_n+s{b}_n\end{array}$

①　$x$,　$y$ の組が２組ある場合

②　$x$,　$y$ の組が１組だけの場合

分数形の漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{r{a}_n+s}{p{a}_n+q}}$

①　特性方程式の解 $\alpha$,　$\beta$ が $\alpha \ne \beta$ となる場合

②　特性方程式の解 $\alpha$,　$\beta$ が $\alpha =\beta$ となる場合

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(1)　$a_1=-3$,　$a_{n+1}=a_n+4$

(2)　$a_1=4$,　$2a_{n+1}+3a_n=0$

(3)　$a_1=1$,　$a_{n+1}=a_n+2^n-3n+1$

解答

(1)　$a_1=-3$,　$a_{n+1}=a_n+4$

$a_{n+1}-a_n=4$ より、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1=-3$,　公差 $4$ の等差数列であるので、

$a_n=-3+(n-1)\times 4$

$=-3+4n-4$

$=4n-7$

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(2)　$a_1=4$,　$2a_{n+1}+3a_n=0$

$a_{n+1}=-{\displaystyle \frac{3}{2}{a}_n}$ より、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1=4$,　公比 $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ の等比数列であるので、

$a_n=4\times {(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^{n-1}$

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(3)　$a_1=1$,　$a_{n+1}=a_n+2^n-3n+1$

$a_{n+1}-a_n=2^n-3n+1$ より、数列 $\{a_n\}$ は階差数列となる。

よって、$n\le 2$ のとき、

$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(2^k-3k+1)}$

$=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{2}^k-\sum _{k=1}^{n-1}3k+\sum _{k=1}^{n-1}1}$

$=1+{\displaystyle \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)}}$

$=1+2^n-2-{\displaystyle \frac{3}{2}{n}^2+\frac{3}{2}n+n-1}$

$=2^n-{\displaystyle \frac{3}{2}{n}^2+\frac{5}{2}n-2}$

$n=1$ のとき

$2^1-{\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{5}{2}-2=1}$ より $n=1$ のときも成り立つ。

したがって、$a_n=2^n-{\displaystyle \frac{3}{2}{n}^2+\frac{5}{2}n-2}$

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次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=6$,　$a_{n+1}=4a_n-3$

解答

特性方程式より

$\alpha =4\alpha -3$

$-3\alpha =-3$

$\alpha =1$

$a_{n+1}-1=4(a_n-1)$

$b_n=a_n-1$ とおくと、$b_1=6-1=5$ となり、

$b_{n+1}=4b_n$

よって、$\{b_n\}$ は初項 $5$,　公比 $4$ の等比数列であるから、

$b_n=5\cdot 4^{n-1}$

$a_n+1=5\cdot 4^{n-1}$

$a_n=5\cdot 4^{n-1}-1$