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【数列】漸化式

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漸化式全パターン

漸化式とは、数列の各項を、その前の項から順にただ1通りに定める規則を表す等式のこと

高校数学においては、漸化式から一般項 an を求める問題が頻出となっています。漸化式にはさまざまな形があり、形によって an の求め方が異なります。

漸化式解法一覧

隣接2項間の漸化式

① 等差数列 an+1an=d

② 等比数列 an+1=ran

③ 階差数列 an+1=an+f(n)

④ an+1=pan+q

 (i) an+1=pan+q

 (ii) an+1=pan+f(n)

 (iii) an+1=pan+qn

 (iv) an+1=anpan+q

 (v) an+1=panq

⑤ その他

 (i) an+1=f(n)an+q

 (ii) an=f(n)an1

隣接3項間の漸化式 

pan+2+qan+1+ran=0

① 特性方程式の解 α, βαβ となる場合

② 特性方程式の解 α, βα=β となる場合

連立漸化式

{an+1=pan+qbnbn+1=ran+sbn

① x, y の組が2組ある場合

② x, y の組が1組だけの場合

分数形の漸化式

an+1=ran+span+q

① 特性方程式の解 α, βαβ となる場合

② 特性方程式の解 α, βα=β となる場合

例題

漸化式の例題 基本レベル

次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。

(1) a1=3, an+1=an+4

(2) a1=4, 2an+1+3an=0

(3) a1=1, an+1=an+2n3n+1

解答

(1) a1=3, an+1=an+4

an+1an=4 より、数列 {an} は初項 a1=3, 公差 4 の等差数列であるので、

an=3+(n1)×4

=3+4n4

=4n7

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(2) a1=4, 2an+1+3an=0

an+1=32an より、数列 {an} は初項 a1=4, 公比 32 の等比数列であるので、

an=4×(32)n1

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(3) a1=1, an+1=an+2n3n+1

an+1an=2n3n+1 より、数列 {an} は階差数列となる。

よって、n2 のとき、

an=a1+k=1n1(2k3k+1)

=1+k=1n12kk=1n13k+k=1n11

=1+2(2n11)21312(n1)n+(n1)

=1+2n232n2+32n+n1

=2n32n2+52n2

n=1 のとき

2132+522=1 より n=1 のときも成り立つ。

したがって、an=2n32n2+52n2

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漸化式の例題 応用レベル

次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。

a1=6, an+1=4an3

解答

特性方程式より

α=4α3

3α=3

α=1

an+11=4(an1)

bn=an1 とおくと、b1=61=5 となり、

bn+1=4bn

よって、{bn} は初項 5, 公比 4 の等比数列であるから、

bn=54n1

an+1=54n1

an=54n11

漸化式の例題 発展レベル

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おわりに

漸化式に問題は、確率やグラフ問題など別の単元との混合問題として出題される場合が多いです。難関大学を目指す場合は必須の単元となるので、しっかりと復習をしましょう。

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

『統計の扉』で書いている記事

  • 高校数学の解説
  • 公務員試験の数学
  • 統計学(統計検定2級レベル)

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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