【数列】『階差数列』階差数列の一般項を求める問題を解説

階差数列

今回は階差数列の一般項を求める問題です。

階差数列の問題は、数列の規則性が簡単に見つけられないものが多いです。この時点で数学が苦手な人にとっては、解く意欲をそがれますよね…しかし、どんな時であれ数列の分野で大切なことは、規則性をどのようにして見つけるかです。逆に言えば、規則性の見つけ方を知っておけば、ある方法でつまずいても、別の方法でその数列の正体を見破ることができるわけです。

具体的に問題を解説する中で、ポイントをおさえていきましょう。

階差数列を利用した一般項の公式

階差数列は、もとの数列の各項の差を調べて、それらを並べた数列（\(b_n\)）のことを言います。上記の \(a_{k+1}-a_k\) の部分で \(k\) という文字が使われているのは、\(n\) という文字が一般項を求めるときにすでに使われているためです。表す意味は \(n\) と同じく、ランダムに項を選ぶということです。公式は最もスマートな形で書かれているので、これだけを見て理解しようとするのはかなり大変です。問題を解説する中で具体的に使って慣れていきましょう。また、上記の公式を使う場合は、注意しなければいけないことが \(1\) つあります。

「 \(n\geq2\) のとき、」

という条件が付いているということです。つまり、一般項は \(1\) 番目にも当てはまるように求めることが基本なので、\(n=1\) の場合を個別にチェックする必要があります。

この点も含めて、実際に問題の解説をみていきましょう！

階差数列の問題

次の数列の一般項 \(a_n\) を求めなさい。

\(2\),　\(7\),　\(18\),　\(35\),　\(58\),　\(\cdots\)

階差数列の問題（答案の例）

\(a_2-a_1=5\)
\(a_3-a_2=11\)
\(a_4-a_3=17\)

と続き、\(5\),　\(11\),　\(17\),　\(\cdots\)を \(b_n\) とおくと、

\(b_n=5+(n-1)\cdot 6\)
\(=5+6n-6\)
\(=6n-1\)

よって、

\(a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_n\) より
\(=2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (6n-1)\)
\(=2+6\cdot \displaystyle \frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n-(n-1)\)
\(=2+3n^2-3n-n+1\)
\(=3n^2-4n+3\)
\(n=1\) のとき \(a_1=2\) となる。

したがって、\(a_n=3n^2-4n+3\)

階差数列の問題（解説）

今回与えられている数列は、わかっている項だけ並べると、

\(2\),　\(7\),　\(18\),　\(35\),　\(58\)

のようになりますね。そしてこの列の特徴を調べると、

\(2\) から \(7\) へは \(+5\)
\(7\) から \(18\) へは \(+11\)
\(18\) から \(35\) へは \(+17\)
\(35\) から \(58\) へは \(+23\)

だけ足されています。足されている数が一定ではないので、今度はこれらを列にした

\(5\),　\(11\),　\(17\),　\(23\),　\(\cdots\)
（「\(\cdots\)」は、今後も同じようにして差を求めて項を作っていくという意味です）

という数列を考え、再び差を見てみるわけです。このような差を並べた数列のことを階差数列と言い、これからこの階差数列の規則性を探っていきます。そうすると、次の項へ移るにつれて、 \(+6\) されているという規則性を持っていることがわかりますね。よって、この階差数列には、

「初項 \(5\) 、公差 \(6\) の等差数列になる」

という特徴があることがわかると思います。つまり、今回の階差数列を仮に \(b_n\) とすると、等差数列の公式により、

\(b_n=5+6(n-1)\)
\(=6n-1\)

のように \(b_n\) を求めることができます。これにより、もとの数列 \(a_n\) は、

\(a_n=2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(6k-1)\)
\(=2+6\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}1\)
\(=2+6\cdot \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}1\)

※項数が \(n-1\) なので、シグマの公式の \(n\) の部分が \(n-1\) に変わっているため、このようになっています

\(=2+6\cdot \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)-(n-1)\)

※ \(1\) を \(n-1\) 回足し合わせるという意味なので、このようになっています

\(=3n^2-4n+3\)

となります。そして、上記で説明している通り、この \(a_n\) は \(n\geq\) のときに成り立っているので、 \(n=1\) の場合を個別に確かめなければなりません。\(n=1\) の場合、

\(a_1=3\cdot 1^2-4\cdot 1+3=2\)

となるので、もとの数列の初項と一致することがわかりますね。これにより、さっき求めた \(a_n=3n^2-4n+3\) は、\(n=1\) の場合にも当てはまるという結果を得ました。ここまで行って、この問題の回答は終了となるので、最後の詰めを忘れないようにしましょう。

おわりに

今回は、階差数列の一般項を求める問題でした。