【数列】『階差数列』階差数列の一般項を求める問題を解説

階差数列

今回は階差数列の一般項を求める問題です。

階差数列の問題は、数列の規則性が簡単に見つけられないものが多いです。この時点で数学が苦手な人にとっては、解く意欲をそがれますよね…しかし、どんな時であれ数列の分野で大切なことは、規則性をどのようにして見つけるかです。逆に言えば、規則性の見つけ方を知っておけば、ある方法でつまずいても、別の方法でその数列の正体を見破ることができるわけです。

具体的に問題を解説する中で、ポイントをおさえていきましょう。

階差数列を利用した一般項の公式

階差数列は、もとの数列の各項の差を調べて、それらを並べた数列（$b_n$）のことを言います。上記の $a_{k+1}-a_k$ の部分で $k$ という文字が使われているのは、$n$ という文字が一般項を求めるときにすでに使われているためです。表す意味は $n$ と同じく、ランダムに項を選ぶということです。公式は最もスマートな形で書かれているので、これだけを見て理解しようとするのはかなり大変です。問題を解説する中で具体的に使って慣れていきましょう。また、上記の公式を使う場合は、注意しなければいけないことが $1$ つあります。

「 $n\ge 2$ のとき、」

という条件が付いているということです。つまり、一般項は $1$ 番目にも当てはまるように求めることが基本なので、$n=1$ の場合を個別にチェックする必要があります。

この点も含めて、実際に問題の解説をみていきましょう！

階差数列の問題

次の数列の一般項 $a_n$ を求めなさい。

$2$,　$7$,　$18$,　$35$,　$58$,　$\cdots$

階差数列の問題（答案の例）

$a_2-a_1=5$
$a_3-a_2=11$
$a_4-a_3=17$

と続き、$5$,　$11$,　$17$,　$\cdots$を $b_n$ とおくと、

$b_n=5+(n-1)\cdot 6$
$=5+6n-6$
$=6n-1$

よって、

$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_n}$ より
$=2+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(6n-1)}$
$=2+6\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (n-1)\cdot n-(n-1)}$
$=2+3n^2-3n-n+1$
$=3n^2-4n+3$
$n=1$ のとき $a_1=2$ となる。

したがって、$a_n=3n^2-4n+3$

階差数列の問題（解説）

今回与えられている数列は、わかっている項だけ並べると、

$2$,　$7$,　$18$,　$35$,　$58$

のようになりますね。そしてこの列の特徴を調べると、

$2$ から $7$ へは $+5$
$7$ から $18$ へは $+11$
$18$ から $35$ へは $+17$
$35$ から $58$ へは $+23$

だけ足されています。足されている数が一定ではないので、今度はこれらを列にした

$5$,　$11$,　$17$,　$23$,　$\cdots$
（「$\cdots$」は、今後も同じようにして差を求めて項を作っていくという意味です）

という数列を考え、再び差を見てみるわけです。このような差を並べた数列のことを階差数列と言い、これからこの階差数列の規則性を探っていきます。そうすると、次の項へ移るにつれて、 $+6$ されているという規則性を持っていることがわかりますね。よって、この階差数列には、

「初項 $5$ 、公差 $6$ の等差数列になる」

という特徴があることがわかると思います。つまり、今回の階差数列を仮に $b_n$ とすると、等差数列の公式により、

$b_n=5+6(n-1)$
$=6n-1$

のように $b_n$ を求めることができます。これにより、もとの数列 $a_n$ は、

$a_n=2+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(6k-1)}$
$=2+6{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k-{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}1}}$
$=2+6\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)-{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}1}}$

※項数が $n-1$ なので、シグマの公式の $n$ の部分が $n-1$ に変わっているため、このようになっています

$=2+6\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)-(n-1)}$

※ $1$ を $n-1$ 回足し合わせるという意味なので、このようになっています

$=3n^2-4n+3$

となります。そして、上記で説明している通り、この $a_n$ は $n\ge$ のときに成り立っているので、 $n=1$ の場合を個別に確かめなければなりません。$n=1$ の場合、

$a_1=3\cdot 1^2-4\cdot 1+3=2$

となるので、もとの数列の初項と一致することがわかりますね。これにより、さっき求めた $a_n=3n^2-4n+3$ は、$n=1$ の場合にも当てはまるという結果を得ました。ここまで行って、この問題の回答は終了となるので、最後の詰めを忘れないようにしましょう。

おわりに

今回は、階差数列の一般項を求める問題でした。