【極限】関数の連続性

①　$x=a$ で連続

関数 $f(x)$ において、その定義域の $x$ の値 $\alpha$ に対して、

・極限値 ${\displaystyle \underset{x\to \alpha }{lim}f(x)}$ が存在

・${\displaystyle \underset{x\to \alpha }{lim}f(x)=f(\alpha )}$

のとき、$f(x)$ は $x=\alpha$ で連続である。

※「$y=f(x)$ のグラフは $x=\alpha$ でつながっている」と捉えると良い。

②　不連続

関数 $f(x)$ がその定義域の $x$ の値 $\alpha$ で連続でないとき、$f(x)$ は $x=\alpha$ で不連続であるという。

③　$f(x)$,　$g(x)$ が $x=\alpha$ で連続ならば、次の関数も $x=\alpha$ で連続である。

　$kf(x)+lg(x)$ ($k$,　$l$ は定数),　$f(x)g(x)$,　$g(a)\ne 0$ のとき ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$

①　最大値・最小値の定理

閉区間で連続な関数は、その閉区間で、最大値および最小値をもつ。

②　中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a$,　$b]$ で連続で、$f(a)\ne f(b)$ ならば、$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して $f(c)=k$ を満たす $c$ が、$a$ と $b$ の間に少なくとも $1$ つある。

「閉区間 $[a$,　$b]$ で連続」とは、$a\le x\le b$ でその間が途切れずに繋がっているという意味！

③　関数 $f(x)$ が閉区間 $[a$,　$b]$ で連続で、$f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば、方程式 $f(x)=0$ は $a<x<b$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつ。