「log」の大きさを比較する
今回は対数の大小を比べる問題です！
\(5\) と \(10\) どちらの数字が大きいかは \(5<10\) となり簡単ですね。
では、\(\log_3 2\) と \(\log_3 5\) ではどうですか？対数が含まれると少しだけ見るポイントが変わってきます。
ちなみにこの場合は、「\(\log\) 」の部分は無視してその次の数字を見て比べると良いです。
つまり \(\log_3 2<\log_3 5\) となります。
さて、\(1.5\) と \(\log_3 5\) はどうでしょうか？
片方の数字は対数（\(\log\)） が付いていますが、もう片方の数字は対数（\(\log\)）が 付いていません。
このままの形だと大小を比べることができません。
大小を比べるためには？
「\(1.5\) は小数」「\(\log_3 5\) は対数」のように異なる形の場合、このままだと大小を比べることができません。
小数もしくは対数どちらかに形を合わせることで大小を比べることができるようになります。
公式
\(a\geq 0\), \(a\neq 1\), \(M>0\) のとき、
\(p=p\log_a a\) \(\cdots\) ①
\(k\log_a M=\logà M^k\) \(\cdots\) ②
※ ①は、ただの数字をログに変換したいときに使用します。
①の例）\(2=2\log_3 3\)
対数の大小（問題）
次の数の大小を不等号を用いて表せ。
\(1.5\), \(\log_3 5\)
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答案の例
\(1.5=1.5 \log_3 3\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\log_3 3\)
\(=\log_3 3^{\displaystyle\frac{3}{2}}\)
\(=\log_3 3^{1+\frac{1}{2}}\)
\(=\log_3 (3^1\times 3^{\frac{1}{2}})\)
\(=\log_3 (3\times \sqrt{3})\)
ここで、\(\sqrt{3}=1.73\)
なので、\(=\log_3 (3\times 1.73=\log_3 5.19\) （おおよその値）
よって、\(\log_3 5<\log_3 5.9\)
\(\log_3 5<1.5\)
解説
STEP1 \(1.5\) をログに変換する。
\(1.5=1.5 \log_3 3\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\log_3 3\)
\(=\log_3 3^{\displaystyle\frac{3}{2}}\)
\(=\log_3 3^{1+\frac{1}{2}}\)
\(=\log_3 (3^1\times 3^{\frac{1}{2}})\)
\(=\log_3 (3\times \sqrt{3})\)
STEP2 \(3\sqrt{3}\) のおおよその値を考える。
ここで、\(\sqrt{3}=1.73\)
なので、\(=\log_3 (3\times 1.73)=\log_3 5.19\) （おおよその値）
STEP3 \(\log_3 5.19\) と \(\log_3 5\) の大小を比べる。
どちらも底が \(3\) の対数なので、真数（\(5.19\) と \(5\) のこと）で比べれば良い。
よって、\(\log_3 5<\log_3 5.9\)
したがって、\(\log_3 5<1.5\)
おわりに
今回は対数の大小を比べる問題でした！
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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