【微分法】導関数の計算

$k$,　$l$ を定数とする。

①　定数倍　$\{kf(x){\}}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)$

②　和　$\{f(x)+g(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$
　　特に　$\{f(x)-g(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$

③　$\{kf(x)+lg(x){\}}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)+l{g}^{\prime }(x)$

$\{{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}{\}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}}$

特に、$\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}{\}}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}}$

$y=f(u)$ が $u$ の関数として微分可能、$u=g(x)$ が $x$ の関数として微分可能であるとき、合成関数 $y=f(g(x))$ も $x$ の関数として微分可能で

　${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}}$

すなわち　$\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

微分可能な関数 $y=f(x)$ の逆関数 $y=f^{-1}(x)$ が存在するとき

　${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$

$p$ が有理数のとき

　$(x^p{)}^{\prime }=p{x}^{p-1}$

次の関数を微分せよ。

(1)　$y=x^4+2x^3-3x$

(2)　$y=(2x-1)(x^2-x+3)$

(3)　$y={\displaystyle \frac{2x-3}{x^2+1}}$

(4)　$y={\displaystyle \frac{2x^3+x-1}{x^2}}$

(1)　$y=x^4+2x^3-3x$

$y^{\prime }=4x^3+2\cdot 3x^2-3\cdot 1x^0$

　$=4x^3+6x^2-3$

(2)　$y=(2x-1)(x^2-x+3)$

$y^{\prime }=(2x-1{)}^{\prime }(x^2-x+3)+(2x-1)(x^2-x+3{)}^{\prime }$

　$=2(x^2-x+3)+(2x-1)(2x-1)$

　$=(2x^2-2x+6)+(4x^2-4x+1)$

　$=6x^2-6x+7$

(3)　$y={\displaystyle \frac{2x-3}{x^2+1}}$

$y^{\prime }={\displaystyle \frac{(2x-3{)}^{\prime }(x^2+1)-(2x-3)(x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}}$

　$={\displaystyle \frac{2(x^2+1)-(2x-3)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}}$

　$={\displaystyle \frac{-2x^2+6x+2}{(x^2+1{)}^2}}$

(4)　$y={\displaystyle \frac{2x^3+x-1}{x^2}}$

$y={\displaystyle \frac{2x^3}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}$

　$=2x+{\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}$

$y^{\prime }=2+{\displaystyle \frac{-1}{x^2}-\frac{-2x}{x^4}}$

　$=2-{\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}}$

　$={\displaystyle \frac{2x^3-x+2}{x^3}}$