【微分法の応用】曲線の凹凸・変曲点

曲線の凹凸・変曲点

今回は変曲点についてです！

変曲点とは、「グラフの曲がり方が変わる点」のことです。

言い換えると、「接線の傾きが増加から減少に切り替わる点」とも言えます！

関数のグラフ（問題）

曲線 $y={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$ の変曲点を求め、グラフを描きなさい。

関数のグラフ（解説）

$y^{\prime }={\displaystyle \frac{x^{\prime }\cdot (x^2+1)-x\cdot (x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}}$

　$={\displaystyle \frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}}$

　$=-{\displaystyle \frac{x^2-1}{(x^2+1{)}^2}}$

$y^{\prime }=0$ とすると　$x=1$,　$-1$

$y”=-{\displaystyle \frac{(x^2-1{)}^{\prime }(x^2+1{)}^2-(x^2-1)\{(x^2+1{)}^2{\}}^{\prime }}{(x^2+1{)}^4}}$

　$=-{\displaystyle \frac{2x(x^2+1{)}^2-(x^2-1)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^4}}$

　$=-{\displaystyle \frac{2x(x^2+1{)}^2-4x(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2+1{)}^4}}$

　$=-{\displaystyle \frac{2x(x^2+1)\{(x^2+1)-2(x^2-1)\}}{(x^2+1{)}^4}}$

　$=-{\displaystyle \frac{2x(x^2+1)(-x^2+3)}{(x^2+1{)}^4}}$

　$={\displaystyle \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1{)}^3}}$

　$={\displaystyle \frac{2x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(x^2+1{)}^3}}$

$y”=0$ とすると　$x=0$,　$\pm \sqrt{3}$

$y”$ の符号を調べると、常に $(x^2+1{)}^3>0$ であるから、この曲線の凹凸は次の表のようになる。

おわりに