三角関数と指数関数の不定積分
今回は三角関数と指数関数の不定積分についてです！
不定積分は数学Ⅱでも学びましたが、数学Ⅲではより難しい関数の不定積分を学びます。積分は微分との複合問題として出題される頻出問題なので一緒に確認していきましょう！
以下 \(C\) はいずれも積分定数とする。
\(\alpha\neq -1\) のとき \(\displaystyle\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)
\(\alpha=-1\) のとき \(\displaystyle\int\frac{1}{x} dx=\log|x|+C\)
\(\displaystyle\int\sin x dx=-\cos x +C\)
\(\displaystyle\int\cos x dx=\sin x +C\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{\cos^2 x} dx=-\tan x +C\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2 x} dx=-\frac{1}{\tan x} +C\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+C\)
\(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) (\(a>0\), \(a\neq 1\))
三角関数の不定積分（例題）
(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)
(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)
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三角関数の不定積分（解説）
(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)
\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{x}\big) dx\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{x}=\log|x|+C\) より
\(=\tan x-\log |x|+C\) (\(C\) は積分定数)
(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)
\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) より
\(=\displaystyle\int\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\sin^2 x}-1\big)dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-x+C\) (\(C\) は積分定数)
指数関数の不定積分（例題）
(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)
(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)
指数関数の不定積分（解説）
(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より
\(=\displaystyle\int\big(2e^t-\frac{3\cdot 2^t}{\log 2}+C\) (\(C\) は積分定数)
(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より
\(=3e^t-\displaystyle\frac{10^t}{\log 10}+C\) (\(C\) は積分定数)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。