【積分法】同形出現

同形出現

今回は部分積分法を用いた計算問題です！

複雑な式の積分をする際には部分積分法が使える可能性が高いです！

同形出現（問題）

$a$ は $0$ でない定数とし、$A={\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-ax}\sin 2xdx}$,　$B={\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-ax}\cos 2xdx}$ とする。このとき、$A$,　$B$ の値をそれぞれ求めよ。

同形出現（解説）

$A={\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-ax}\sin 2xdx}$ について

よって、

　$A=[\sin 2x\cdot {\displaystyle \frac{e^{-ax}}{-a}{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{e^{-ax}}{-a}\cdot 2\cos 2xdx}}$

$=0+{\displaystyle \frac{2}{a}}$${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-ax}\cos 2xdx}$

$={\displaystyle \frac{2}{a}}$ $B$ $\cdots$ ①

$B={\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-ax}\cos 2xdx}$ について

$={\displaystyle \frac{e^{-a\pi }}{-a}+\frac{1}{a}-{\displaystyle \frac{2}{a}}}$${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-ax}\sin 2xdx}$

$={\displaystyle \frac{1}{a}(1-e^{-a\pi })-{\displaystyle \frac{2}{a}}}$ $A$ $\cdots$ ②

①より　$B={\displaystyle \frac{a}{2}A}$

これを②に代入して、

${\displaystyle \frac{a}{2}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi })-\frac{2}{a}A}$

${\displaystyle \frac{a}{2}A+\frac{2}{a}A=\frac{1}{a}(1-e^{-a\pi })}$

${\displaystyle a^2+42aA=\frac{2}{2a}(1-e^{-a\pi })}$

$A={\displaystyle \frac{2}{a^2+4}(1-e^{-a\pi })}$

$B={\displaystyle \frac{a}{a^2+4}(1-e^{-a\pi })}$

おわりに