【積分法の応用】2 曲線間の面積

$2$ 曲線間の面積

今回は $2$ 曲線で囲まれた面積を求める問題です。

曲線が三角比で表されているので、「三角比の不定積分」「三角比のグラフ」「定積分の基本知識」が理解できていることが必要になります。

$2$ つの曲線 $y = f (x)$ ,　 $y = g (x)$ と $2$ 直線 $x = a$ ,　 $x = b$ に囲まれた面積 $S$ を求めるとき、

上下の関数が切り替わっている点に注意すると、

　 $S = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x$

最初の方は青い曲線が上にいますが、途中から赤い曲線が上に来ていますね！

区間 $0 \leq x \leq 2 π$ において、 $2$ つの曲線 $y = \sin x$ ,　 $y = \sin 2 x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

まずは $2$ 曲線の交点を求めます。

　 $\sin x = \sin 2 x$

　 $\sin x = 2 \sin x \cos x$

　 $\sin x - 2 \sin x \cos x = 0$

　 $\sin x (1 - 2 \cos x) = 0$

　 $\sin x = 0$ ,　 $\cos x = \frac{1}{2}$

　 $x = 0$ ,　 $\frac{π}{3}$ ,　 $π$ ,　 $\frac{5 π}{3}$ ,　 $2 π$

交点に気をつけながら $2$ つの曲線のグラフを描いてみましょう！

よって、 $\sin x$ と $\sin 2 x$ に囲まれた部分は以下のようになります。

面積 $S$ を求める図形は点 $(π$ ,　 $0)$ に関して対称なので、

$S = 2 {\int_{0}^{\frac{π}{3}} (\sin 2 x - \sin x) d x + \int_{\frac{π}{3}}^{π} (\sin x - \sin 2 x) d x}$

$= 2 {[- \frac{1}{2} \cos 2 x + \cos x]_{0}^{\frac{π}{3}} + [- \cos x + \frac{1}{2} \cos 2 x]_{\frac{π}{3}}^{π}}$

$= 2 {(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - (- \frac{1}{2} + 1) + (1 + \frac{1}{2}) - (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2})}$

　 $= 2 (\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{4})$

　 $= 2 \times \frac{10}{4}$

　 $= 5$

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。