【式と証明】『恒等式』方程式との違いを区別する方法

恒等式と方程式の違い

今回は恒等式と方程式の違いを解説します！

恒等式を理解する上で、恒等式と方程式の違いを理解することが重要です。

これらについて解説していきます。

 恒等式とは？

恒等式とは、含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ等式のこと。（方程式は、特定の値のときにのみ成り立つ等式のことです）

恒等式を解く時のポイント

恒等式の問題

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$,　$b$,　$c$ の値を求めよ。

答案の例

（右辺）

よって、

$\{\begin{array}{l}-2=a-b\cdots \mathrm{①}\\ 0=-2a+c\cdots \mathrm{②}\\ 6=a+b+c\cdots \mathrm{③}\end{array}$

①より

$b=a+2$ $\cdots$ ①’

①を③に代入

$6=a+a+2+c$

$4=2a+c$ $\cdots$④

②と④について

$\{\begin{array}{l}-2a+c=0\cdots \mathrm{②}\\ 2a+c=4\cdots \mathrm{④}\end{array}$

$\mathrm{②}-\mathrm{④}$ より

$-4a=-4$

$a=1$

②に代入すると

$-2\times 1+c=0$

$-2+c=0$

$c=2$

$a=1$ と $c=2$ を ③に代入すると、

$6=1+b+2$

$b=3$

よって、$a=1$,　$b=3$,　$c=2$

解説

左辺と右辺の形を合わせる

（右辺）

両辺に$\times (x+1)(x-1{)}^2$ をすることにより、各辺の分子を比べる。

よって、

両辺の $x^2$,　$x$ の係数と両辺の定数をそれぞれ比べる。

$\{\begin{array}{l}-2=a-b\cdots \mathrm{①}\\ 0=-2a+c\cdots \mathrm{②}\\ 6=a+b+c\cdots \mathrm{③}\end{array}$

 

連立方程式を解こう

①より

$b=a+2$ $\cdots$ ①’

①を③に代入

$6=a+a+2+c$

$4=2a+c$ $\cdots$④

②と④について

$\{\begin{array}{l}-2a+c=0\cdots \mathrm{②}\\ 2a+c=4\cdots \mathrm{④}\end{array}$

$\mathrm{②}-\mathrm{④}$ より

$-4a=-4$

$a=1$

②に代入すると

$-2\times 1+c=0$

$-2+c=0$

$c=2$

$a=1$ と $c=2$ を ③に代入すると、

$6=1+b+2$

$b=3$

よって、$a=1$,　$b=3$,　$c=2$

おわりに

今回は恒等式と方程式の違いを解説しました！

恒等式と方程式の違いをしっかりと理解しておきましょう！