【因数分解】『演習問題』基礎から応用まで

因数分解（演習問題）

LEVEL1

(1)　$4-2x$

(2)　$4x-2y+10$

(3)　$ax-4x$

(4)　$x^2-4x$

(5)　$xy+2x^{2}y-5x{y}^2$

(6)　$9a^3{x}^{2}y-45a{x}^3{y}^2+18a^{2}x{y}^3$

(7)　$(x-y{)}^2+yz-zx$

詳しい解説は下の方にあります。

LEVEL2

(1)　$x^2-3x+2$

(2)　$x^2+7x+12$

(3)　$x^2+6x+9$

(4)　$x^2-5x-36$

(5)　$a^2-x^2$

(6)　$4x^2-9y^2$

(7)　$x^2-22x+121$

(8)　$3x^2-8x+4$

(9)　$6x^2-5x-14$

(10)　$8x^2-32$

(11)　$6a^{3}b-24a{b}^3$

詳しい解説は下の方にあります。

LEVEL3

(1)　$x^3-27$

(2)　$64a^3+125b^3$

(3)　$x^3+6x^2+12x+8$

(4)　$x^3+x^2-4x-4$

(5)　$64x^3-1$

詳しい解説は下の方にあります。

LEVEL4

(1)　$2(x-1{)}^2-11(x-1)+15$

(2)　$x^2-y^2+4y-4$

(3)　$x^4-10x^2+9$

(4)　$(x^2+3x{)}^2-2(x^2+3x)-8$

詳しい解説は下の方にあります。

LEVEL5

(1)　$(x^2-2x-16)(x^2-2x-14)+1$

(2)　$(x+1)(x-5)(x^2-4x+6)+18$

(3)　$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9$

詳しい解説は下の方にあります。

LEVEL6

(1)　$a^{3}b+16-4ab-4a^2$

(2)　$x^{3}y+x^2-xy{z}^2-z^2$

(3)　$x^2-2xy-3y^2+6x-10y+8$

(4)　$2x^2-5xy-3y^2+7x+7y-4$

(5)　$x^4+3x^2+4$

(6)　$x^4-11x^2{y}^2+y^4$

詳しい解説は下の方にあります。

解説

LEVEL1

(1)　$4-2x=2(2-x)$

(2)　$4x-2y+10=2(2x-y+5)$

(3)　$ax-4x=x(a-4)$

(4)　$x^2-4x=x(x-4)$

(5)　$xy+2x^{2}y-5x{y}^2=xy(1+2x-5y)$

(6)　$9a^3{x}^{2}y-45a{x}^3{y}^2+18a^{2}x{y}^3=9axy(a^{2}x-5x^{2}y+2a{y}^2)$

(7)　$(x-y{)}^2+yz-zx$

$=(x-y{)}^2+z(y-x)$

$=(x-y{)}^2-z(x-y)$

$=(x-y)(x-y-z)$

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LEVEL2

(1)　$x^2-3x+2$

$-1\times (-2)=2$,　$-1+(-2)=-3$ より

$=(x-1)(x-2)$

(2)　$x^2+7x+12$

$4\times 3=12$,　$4+3=7$ より

$=(x+4)(x+3)$

(3)　$x^2+6x+9$

$3\times 3=9$,　$3+3=6$ より

$=(x+3{)}^2$

(4)　$x^2-5x-36$

$-9\times 4=36$,　$-9+4=-5$ より

$=(x-9)(x+4)$

(5)　$a^2-x^2$

$=(a+x)(a-x)$

(6)　$4x^2-9x^2$

$=(2x+3y)(2x-3y)$

(7)　$x^2-22x+121$

$-11\times (-11)=121$,　$-11+(-11)=-22$ より

$=(x-11{)}^2$

(8)　$3x^2-8x+4$

$3\times (-2)=-6$,　$1\times (-2)=-2$ より

$=(3x-2)(x-2)$

(9)　$6x^2-5x-14$

$6\times (-2)=-12$,　$1\times 7=7$ より

$=(6x+7)(x-2)$

(10)　$8x^2-32$

$=8(x^2-4)$

$=8(x+2)(x-2)$

(11)　$6a^{3}b-24a{b}^3$

$=6ab(a^2-b^2$

$=6ab(a+b)(a-b)$

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LEVEL3

(1)　$x^3-27$

$=x^3-3^3$

$=(x-3)(x^2+3x-9)$

(2)　$64a^3+125b^3$

$=(4a{)}^3+(5b{)}^3$

$=(4a+5b)(16a^2=20ab+25b^2)$

(3)　$x^3+6x^2+12x+8$

$=x^3+8+6x^2+12x$

$=(x+2)(x^2-2x+4)+6x(x+2)$

$=(x+2)(x^2-2x+4+6x)$

$=(x+2)(x^2+4x+4$

$=(x+2)(x+2{)}^2$

$=(x+2{)}^3$

※　公式を使えば一発で求められます。

(4)　$x^3+x^2-4x-4$

$=x^2(x+1)-4(x+1)$

$=(x+1)(x^2-4)$

$=(x+1)(x+2)(x-2)$

(5)　$64x^3-1$

$=(4x{)}^3-1^3$

$=(4x-1)(16x^2+4x+1)$

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LEVEL4

(1)　$2(x-1{)}^2-11(x-1)+15$

$(x-1)=A$ とおく。

$=2A^2-11A+15$

$2\times (-3)=-6$,　$1\times (-5)=-5$

$=(2A-5)(A-3)$

$A$ に $x-1$ を戻す。

$=(2(x-1)-5)((x-1)-3)$

$=(2x-7)(x-4)$

(2)　$x^2-y^2+4y-4$

$=x^2-(y^2-4y+4)$

$=x^2-(y-2{)}^2$

$=(x+y-2)(x-(y-2))$

$=(x+y-2)(x-y+2)$

(3)　$x^4-10x^2+9$

$x^2=A$ とおく

$=A^2-10A+9$

$-9\times (-1)=9$,　$-9+(-1)=-10$

$=(A-1)(A-9)$

$A$ に $x^2$ を戻す

$=(x^2-1)(x^2-9)$

$=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)$

(4)　$(x^2+3x{)}^2-2(x^2+3x)-8$

$x^2+3x=A$ とおく

$=A^2-2A-8$

$-4\times 2=-8$,　$-4+2=-2$

$=(A+2)(A-4)$

$A$ に $x^2+3x$ を戻す

$=(x^2+3x+2)(x^2+3x-4)$

$=(x+1)(x+2)(x+4)(x-1)$

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LEVEL5

(1)　$(x^2-2x-16)(x^2-2x-14)+1$

$x^2-2x=A$ とおく

$=(A-16)(A-14)+1$

$=A^2-30A+224+1$

$=A^2-30A+225$

$=(A-15{)}^2$

$A$ に $x^2-2x$ を戻す

$=(x^2-2x-15{)}^2$

$={(x-5)(x+3)}^2$

$=(x-5{)}^2(x+3{)}^2$

(2)　$(x+1)(x-5)(x^2-4x+6)+18$

$=(x^2-4x-5)(x^2-4x+6)+18$

$x^2-4x=A$ とおく

$=(A-5)(A+6)+18$

$=A^2+A-30+18$

$=A^2+A-12$

$=(A+4)(A-3)$

$A$ を $x^2-4x$ に戻す

$=(x^2-4x+4)(x^2-4x-3)$

$=(x-2{)}^2(x^2-4x-3)$ 

(3)　$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9$

$=(x-1)(x-7)(x-3)(x-5)-9$

$=(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)-9$

$x^2-8x=A$ とおく

$=(A+7)(A+15)-9$

$=(A^2+22A+105)-9$

$=A^2+22A+96$

 $=(A+16)(A+6)$

$=(x^2-8x+16)(x^2-8x+6$

$=(x-4{)}^2(x^2-8x+6)$

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LEVEL6

(1)　$a^{3}b+16-4ab-4a^2$

$=ab(a^2-4)-4(a^2-4)$

$=(a^2-4)(ab-4)$

$=(a+2)(a-2)(ab-4)$

(2)　$x^{3}y+x^2-xy{z}^2-z^2$

$=xy(x^2-z^2)+(x^2-z^2)$

$=(x^2-z^2)(xy+1)$

$=(x+z)(x-z)(xy+1)$

(3)　$x^2-2xy-3y^2+6x-10y+8$

$=x^2+(-2y+6)x-(3y^2+10y-8)$

$=x^2+(-2y+6)x-(3y-2)(y+4)$

$-(3y-2)\times (y+4)=-(3y-2)(y+4)$,　$-(3y-2)+(y+4)=-2y+6$ より

$=(x-3y+2)(x+y+4)$

(4)　$2x^2-5xy-3y^2+7x+7y-4$

$=2x^2+(-5y+7)x-(3y^2-7y+4)$

$=2x^2+(-5y+7)x-(3y-4)(y-1)$

$2\times (-(3y-4))=-6y+8$,　$1\times (y-1)=y-1$ より

$=(2x+y-1)(x-3y+4)$

(5)　$x^4+3x^2+4$

$=(x^4+4x^2+4)-x^2$

$=(x^2+2{)}^2-x^2$

$=(x^2+2+x)(x^2+2-x$

$=(x^2+x+2)(x^2-x+2)$

(6)　$x^4-11x^2{y}^2+y^4$

$=x^4-2x^2{y}^2+y^4-9x^2{y}^2$

$=(x^2-y^2)-9x^2{y}^2$

$=(x^2-y^2+3xy)(x^2-y^2-3xy)$

$=x^2+3xy-y^2)(x^2-3xy-y^2)$

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おわりに