【二次関数】『二次関数の決定』二次関数の式を作る２つの方法の解説と例題

二次関数の決定

今回は、二次関数の式を作る問題です。

二次関数の式を作る問題は、条件によって使用する公式が異なるので、慣れるまでは使用する公式の判別が少し難しいかもしれません。

問いの条件をしっかりと見極めて２つの公式を使い分けましょう。

二次関数の決定の問題

$2$ 次関数のグラフの頂点が $x$ 軸上にあって、$2$ 点 $(0$,　$4)$,　$(-4$,　$36)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

答案の例

$x$ 軸上に頂点があるので、頂点の $y$ 座標は $y=0$ となる。

よって、$y=a(x-p{)}^2+0$

点 $(0$,　$4)$ を通るので、$4=a(0-p{)}^2$

　$4=a{p}^2$ $\cdots$ ①

点 $(-4$,　$36)$ を通るので、$36=a(-4-p{)}^2$

　$36=a(16+8p+p^2)$

　$36=a{p}^2+8ap+16a$ $\cdots$ ②

① $\times 9$ より $36=9a{p}^2$ $\cdots$ ①’

①’＝②

$9a{p}^2=a{p}^2+8ap+16a$

$8a{p}^2-8ap-16a=0$

$p^2-p-2=0$

$(p-2)(p+1)=0$

$p=2$,　$-1$

( i )　$p=2$ の時

①より $4=4a$

$a=1$

( ii )　$p=-1$ の時

①より $a=4$

したがって、$y=4(x+1{)}^2$,　$y=(x-2{)}^2$

解説

「頂点は $x$ 軸上にあって、」と頂点についての説明があるので、使用する公式は$y=a(x-p{)}^2+q$

$x$ 軸上に頂点があるので、頂点の $y$ 座標は $y=0$ となる。

よって、$y=a(x-p{)}^2+0$

通る点は、$x$ と $y$ に代入する。

点 $(0$,　$4)$ を通るので、$4=a(0-p{)}^2$

　$4=a{p}^2$ $\cdots$ ①

点 $(-4$,　$36)$ を通るので、$36=a(-4-p{)}^2$

　$36=a(16+8p+p^2)$

　$36=a{p}^2+8ap+16a$ $\cdots$ ②

① と ② の連立方程式を解く。

$\{\begin{array}{l}4=a{p}^2\\ 36=a{p}^2+8ap+16a\end{array}$

① $\times 9$ より $36=9a{p}^2$ $\cdots$ ①’

①’＝②

$9a{p}^2=a{p}^2+8ap+16a$

$8a{p}^2-8ap-16a=0$

$p^2-p-2=0$

$(p-2)(p+1)=0$

$p=2$,　$-1$

( i )　$p=2$ の時

①より $4=4a$

$a=1$

( ii )　$p=-1$ の時

①より $a=4$

したがって、

$y=a(x-p{)}^2$ に求めた文字を当てはめていく

$y=4(x+1{)}^2$,　$y=(x-2{)}^2$

おわりに