【二次方程式】『判別式』(二次不等式) \(>0\)が成り立つような定数 \(k\) を求める問題

(二次不等式) \(>0\)

今回の問題は、(二次不等式) \(>0\) が成り立つような定数 \(k\) を求める問題です。

二次不等式と二次関数は深く関わっていますが、関わりをイメージするのが難しいかもしれません。関数の形にしてグラフをイメージしながら解くことが重要です！

二次関数：\(y=ax^2+bx+c\)
二次方程式：\(ax^2+bx+c=0\) （二次関数の \(y\) に具体的な値が入った形が二次方程式）
二次不等式：\(ax^2+bx+c>0\)

判別式

「すべての \(x\) で \(f(x)>0\) となる。」とは？

「グラフ \(f(x)\) がすべての \(x\) に対して \(f(x)>0\) となる」
ということを図でイメージする必要があります。

図でのイメージ
( i )

このような図だと \(f(x)<0\) となる \(x\) が存在してしまうので、不適
\(f(x)<0\) となる部分が存在しないようにするには、

( ii )

となっている必要があります。このように、

\(f(x)>0\) や \(f(x)<0\) はグラフの位置と深く関わっています。

二次不等式の問題

全ての実数 \(x\) に対して、\(2\) 次不等式 \(x^2+(k+3)x-k>0\)が成り立つような定数 \(k\) の範囲を求めよ。

答案の例

\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(D=(k+3)^2+4k>0\)

\(=k^2+6k+9+4k>0\)

\(=k^2+10k+9>0\)

\(=(k+9)(k+1)>0\)

\(k<-9\),　\(-1<k\)

解説

「全ての実数 \(x\) に対して、」とあるので、図のように、完全に \(x\) 軸よりも上にグラフが配置されていなければいけない。

判別式を使う。
図のように表される時、解は \(0\) コなので、\(D<0\) となる。

\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(D=(k+3)^2+4k<0\)

\(=k^2+6k+9+4k<0\)

\(=k^2+10k+9<0\)

\(=(k+9)(k+1)<0\)

\(-9<k<-1\)

おわりに

今回は、(二次不等式) \(>0\)が成り立つような定数 \(k\) を求める問題でした。

二次不等式と二次関数の関係性をは、グラフを描くことによってイメージしやすくなります！