【二次関数】$4x+2y^2$ の最大値と最小値

$y=$ （ある文字だけの式）という形を作れ

今回はグラフの最大と最小を求める問題です。

$2$ 次関数という言葉がタイトルに含まれているため、 $y=x^2+3x+2$ のように右辺が $2$ 次式になっているグラフを想定してもらって構いません。
例えば上記のグラフであれば、 $x^2$ の係数が $1$ ですので、上に開いたグラフとなります。よって、最小値はグラフの頂点となりますが、最大値は変域がないと求められませんね。

変域によって範囲が区切られていれば、その中での最大と最小がわかるため、「最大値と最小値を求めなさい。」と言われたら、以下の $2$ つが必要になるのです。

・ $y=$ （ある文字だけの式）
・グラフの変域

例えば、$y=x^2+3x+2$ と（ $-6\le x\le 0$）のような感じです。

これを頭に置きながら、以下の問題を見ていきましょう。

最大値と最小値（問題）

実数 $x$ 、 $y$ が $x^2+y^2=4$ を満たしているとき、 $4x+2y^2$ の最大値、最小値を求めなさい。また、そのときの $x$ 、 $y$ の値を求めなさい。

最大値と最小値（答案の例）

$x^2+y^2=4$ から、 $y^2=4-x^2$ となる。

$y^2\ge 0$ により、 $4-x^2\ge 0⟶-2\le x\le 2$

また、 $y^2=4-x^2$ により、

　$4x+2y^2$
　$=4x+2(4-x^2)$
　$=4x+8-2x^2$

ここで、 $z=-2x^2+4x+8$ とすると、

　$z=-2(x^2-2x)+8$
　$=-2(x-1{)}^2+10$

により、グラフの頂点は（ $1$ 、 $10$ ）。

また、$-2\le x\le 2$ により、グラフは以下のような概形となる。

最小値は、 $x=-2$ における $z$ の値なので、

　$z=-2(-2{)}^2+4\times -2+8$
　$=-8$

また、最小値をとるときの $y$ の値は、$y^2=4-x^2$ により、

　$y^2=4-(-2{)}^2$
　$=0$

つまり、 $y=0$。同様に、最大値の $y$ の値は、 $y=\pm \sqrt{3}$。

したがって、

　$x=1$、 $y=\pm \sqrt{3}$ のとき、最大値$10$
　$x=-2$、 $y=0$ のとき、最小値$-8$

をとる。

最大値と最小値（解説）

まず、多くのことが複雑に起こっているので、状況を整理しましょう。

冒頭で、最大・最小を求める際に必要なものは $2$ つあるという話をしたと思います。
まずはそれらを作っていきましょう。

ひとまず、変域から探っていきます。

変域は、必ず不等式の形になっていますね。
しかし、現在問題文には不等式がありません。

ないのであれば、作ればいいのです。

でも、どうやって？？

こういう場合、疑うべきは $2$ 乗の存在です。
$2$ 乗すると、どんな数でも $0$ 以上の数になることは、中学校で学んでいます。

＜正の数を $2$ 乗する場合＞
　$3^2=9$、 $5^2=25⟶$正の数

＜負の数を $2$ 乗する場合＞
　$(-3{)}^2=9$、 $(-5{)}^2=25⟶$正の数

＜$0$ を $2$ 乗する場合＞
　$0^2=0$

よって、問題で登場している $x^2$ や $y^2$ は $0$ 以上の数であることはわかっているわけですね。

しかし今、問題では「$x^2+y^2$」となっています。
「片方ずつについては $0$ 以上の数だけど、足されてるとなぁ・・・」

簡単です。
「$x^2+y^2=4$」という方程式に形になっていますので、片方を右辺に移項してしまいましょう。

今回は、 $x^2$ を移項し、

　$y^2=4-x^2$

とします。ここで左辺を見れば、 $y^2$ だけになりましたので、これは $0$ 以上の数、つまり、

　$y^2\ge 0$

という不等式を導けるわけです。このようにして、不等号を生み出すのです。そして、$y^2$と$4-x^2$はイコール（同じ値）ですので、もちろん

　$4-x^2\ge 0$

とも言えるわけですね。これを変形し、

　$4-x^2\ge 0$
　$x^2-4\le 0$
　$(x-2)(x+2)\le 0$
　$-2\le x\le 2$

という変域を作ることができます。次に、肝心のグラフを作っていきます。$4x+2y^2$ の最大と最小を求めるため、このグラフを書けばいいわけですが、今までのグラフを思い浮かべていただけるとわかる通り、

　$y=x^2+x-2$
　$y=x^2+5x-3$

などのように、

　①　等式になっている（イコールが含まれている）
　②　等式の右辺は、文字が $1$ 種類しか存在していない（今回の例ならば $x$ ）

という特徴をもっています。まず、①について考えていきます。グラフの式がなぜ等式になっているかというと、 $2$ つの文字の関係性を絵的にわかりやすく表現したいからです。例えば、 $y=x^2+x-2$ で言えば、仮に $y=$ の部分がなかったとしましょう。すると、$x^2+x-2$ となりますね。これだけではグラフを書くことはできませんよね。

ここで、

　$x=1$ のときは、 $0$
　$x=2$ のときは、$4$

のように、 $x$ の値によって、$x^2+x-2$ の式の値が出てきます。
この $0$ 、 $4$ のような値を座標として平面にとるために、

　$x=1$ のときは、 $0⟶$ （ $1,0$）
　$x=2$ のときは、 $4⟶$ （ $2,4$）

としたかったのです。そこで、 $x$ の値によって出てきた $0$ や $4$ などの値の総称として、仮に $y$ という文字を使って表現し、

　$x=1$ のときは、 $y=0$
　$x=2$ のときは、 $y=4$

のようにしました。そうすることで、 $x$ 座標と $y$ 座標が生まれ、座標を座標平面にとれるわけです。つまり、今まで $y=$ という始まりだった式は、$x$ の値によって出てきた値の総称を仮に $y$ という文字で表現していたにすぎないので、本来は $y$ でなくても、他の文字でも全然いいのです。
（みなさんは式と言えば $y=$ ～というもの、グラフと言えば $x$ 軸と $y$ 軸である、という意識が固定化されていると思うので、少し難しく感じてしまうのもわかります。）

例えば、 $z=x^2+x-2$ 、 $a=x^2+x-2$ だっていいわけです。その場合は、以下のような座標空間になります。
（縦軸が $y$ じゃないと、やはり見慣れないですね。）

文字はあくまでもそこにある数を代入しますよ、ということを表すものなので、ちなみに横軸に使われている $x$ も、本来は別の文字でも良かったりします。

さて、話を元に戻しましょう。

イコールになっていない状態の$4x+2y^2$ を見た時、仮にこの $x$ と $y$ に何か数を代入して出てきた値の総称を $z$ として、式を作って見ると、

　$z=4x+2y^2$

となります。しかしこれでは、文字が $3$ 種類含まれているため、上のような座標平面で表現できません。ここで、右辺の文字を $1$ 種類に統一する必要があるわけですが、その話が上記の②とつながってきます。$1$ 種類のみで式を作るには、 $x$ か $y$ のどちらかを削る必要がありますが、ちょうどこの解説の前半で、

　$y^2=4-x^2$

という式が出てきていますね。これを使って $y$ を消去するように式を変形すると、

　$z=4x+2(4-x^2)$
　$z=-2x^2+4x+8$

となりますね。よって、このグラフを書いて、上記で求めた$-2\le x\le 2$という変域の中で、最大と最小を求めればいいというわけです。平方完成をして、グラフの頂点を求めてみると、

　$z=-2(x^2-2x)+8$
　$=-2(x-1{)}^2+10$

により、頂点は（ $1$ 、 $10$ ）だとわかります。変域を含んだ図は、答案の例に書いてあるような形になります。さて、ここでの最大と最小を求めるわけですが、最小値は $x=-2$ の時の $z$ の値、最大値は $x=1$ のときの $z$ の値となりますね。

つまり、

　$z=-8$ が最小で、そのときの $x$ は $-2$ 、
　$z=10$ が最大で、そのときの $x$ は $1$

ということになります。しかし、 $y$ の値がまだ求められていないため、$y^2=4-x^2$ を使って、 $y$ を求めていきます。

　$x=-2$ のとき、 $y=0$
　$x=1$ のとき、 $y=\pm \sqrt{3}$

となるわけですね。

この手の問題は、条件式をどう使うかが鍵です。
ぜひたくさんのパターンに触れながら、傾向を掴んでいきましょう。

おわりに