【二次関数】最大値・最小値を求める問題（グラフの描き方を丁寧に解説）

二次関数の最大値・最小値

今回は、二次関数の最大値・最小値の求め方についてです。

二次関数の問題のほとんどはグラフを描くことで解決します。特に最大値・最小値に関しては、目で見て一番高いところが最大、一番低いところが最小といった具合に求めることができます。今回は、グラフの描き方を丁寧に解説してるので、ぜひ最後まで見てみてください。

また、二次関数については他にもこんな記事があるので、チェックしてみてください。

最大値・最小値はグラフのここを見る

左図は放物線、右図は直線です。

それぞれのグラフの最大値・最小値を求める時は、$y$ 座標を見ます。よって、左図右図は赤い点が最大値になります。

二次関数の最大・最小の問題

$y=2x^2-8x+5$ ($0\le x\le 3$) の最大値と最小値を求めよ。

答案の例

$y=2x^2-8x+5$

$=2(x^2-4x)+5$
$=2\{(x-2{)}^2-4\}+5$
$=2(x-2{)}^2-8+5$
$=2(x-2{)}^2-3$

　頂点 $(2$,　$-3)$

グラフより、

$x=0$ のとき最大値 $5$
$x=2$ のとき最小値 $-3$

解説

平方完成をする。

$y=2x^2-8x+5$

$=2(x^2-4x)+5$
$=2\{(x-2{)}^2-4\}+5$
$=2(x-2{)}^2-8+5$
$=2(x-2{)}^2-3$

　頂点 $(2$,　$-3)$

グラフを描く

①大きめに軸を描く　グラフを見て最大値・最小値を判断するので大きめに描いた方が良い。

②頂点を打つ

③ $y$ 軸との交点を打つ

$y$ 軸との交点が正なのか負なのかは重要な情報になるので、しっかりと打つ。

④ 手順 2,　3 で打った点を繋ぐように点線で描く

⑤ 定義域内に対応する点線を実線で上書きする

定義域内は実践、定義域外は点線で描く。

グラフを見て最大値・最小値を求める

$x=0$ のとき最大値 $5$
$x=2$ のとき最小値 $-3$

おわりに

今回の問題は、二次関数の最大値・最小値の求め方についてでした。