指数方程式
今回は指数方程式の解き方の解説をしていきます！
指数方程式は「数学Ⅱ 指数関数」の中の分野になります。
【指数関数】
\(a>0\), \(a\neq 1\) として、\(y=a^x\) で表される関数で、\(a\) を指数関数の底と言います。
【指数】
\(a^x\) を表される時の、\(x\) を指数と言います。
【指数方程式】
指数 (\(a^x\) ) が含まれた方程式のことを言います。
例）
(1) \(3^x=81\)
(2) \(4^x=32\)
(3) \(4^x-3\cdot 2^{x+2}+32=0\)
このように、指数が含まれた方程式は全て指数方程式に含まれます。指数方程式の計算には、指数の定義の他に指数法則を使えるようになっている必要があります。
【指数法則】
\(a\neq 0\), \(b\neq 0\) で、\(m\), \(n\) が整数のとき、
① \(a^ma^n=a^{m+n}\)
①’ \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
② \((a^m)^n=a^{mn}\)
③ \((ab)^n=a^nb^n\)
③’ \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\)
指数方程式（問題）
(1) \(3^x=81\)
(2) \(4^x=32\)
(3) \(4^x-3\cdot 2^{x+2}+32=0\)
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解説
(1) \(3^x=81\)
\(3^x=3^4\)
\(x=4\)
(2) \(4^x=32\)
\((2^2)^x=2^5\)
\(2^2x=2^5\)
\(2x=5\)
\(x=\displaystyle\frac{5}{2}\)
(3) \(4^x-3\cdot 2^{x+2}+32=0\)
\((2^2)^x-3\cdot 2^x\cdot 2^2+32=0\)
\((2^x)^2-3\cdot 2^2\cdot 2^x+32=0\)
\((2^x)^2-12\cdot 2^x+32=0\)
\(t=2^x\) とおくと、
\(t^2-12t+32=0\)
\((t-8)(t-4)=0\)
\(t=4\), \(t=8\)
ここで、\(t\) に \(2^x\) を戻すと、
\(2^x=4\), \(2^x=8\)
\(2^x=2^2\), \(2^x=2^3\)
\(x=2\), \(3\)
おわりに
今回は、指数方程式の解き方の解説しました。
指数方程式を習得するためには、指数についての公式に加えて、「因数分解が計算できる」ことも必要になってきます。
↓因数分解を確認したい方はこちら
また、指数関数について他にもこんな問題もあります。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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