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【複素数と方程式】『剰余の定理』公式とその証明と例題

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pq で割るときの商を a, 余りを r 」とすると、

 p=aq+r (0r<q)

と表すことができます。

剰余の定理

剰余とは、「割り算の余り」のことです。

剰余の例(整数)

173 で割ると、17=3×5+2 なので 余りは 2 

pq で割るときの商を a, 余りを r 」とすると、p=aq+r (0r<q) と表すことができます。

多項式の場合も同様に考えることができます。

剰余の例(多項式)

x2+3x+1x2 で割ると、x2+3x+1=(x2)(x+5)+11 なので 余りは 11 

p(x)q(x) で割るときの商を a(x), 余りを r(x)」とすると、p(x)=a(x)q(x)+r(x) (r の次数は q の次数より小さい) と表すことができます。

剰余の定理の意味

剰余の定理とは、多項式 P(x)(xa) で割った余りは P(a) になるというものです。

例題

P(x)=x2+5x3x2 で割った余りを求めなさい。

解答

剰余の定理より a=2 とすると、

P(x)x2 で割った余りは P(2) であることがわかる

よって、余りは、

P(2)=22+523=11

剰余の定理のおかげで、多項式同士の割り算をしなくても P(2) の計算をするだけで余りを求めることができました。

剰余の定理の証明

剰余の定理とは、多項式 P(x)(xa) で割った余りは P(a) になるというものです。

こちらの証明をしていきます。

証明

多項式 P(x)xa で割ったときの商を Q(x) 余りを R とおくと、

P(x)=(xa)Q(x)+R

この等式に x=a を代入すると、P(a)=R となる。

よって、 多項式 P(x)(xa) で割った余りは P(a) になる

公式をただ覚えるのではなく、導出の過程が重要なのでしっかりと理解しておきましょう。

剰余の定理(例題)

ax+b で割った余り

P(x)ax+b で割った余りは P(ba) になります。

例題

P(x)=x42x1 で割ったときの余りを求めなさい。

解答

P(12)=116

二次式で割る場合

例題

P(x)=x4+xx23x+2 で割ったときの余りを求めなさい。

解答

余りは一次式になることに注意して商を Q(x), 余りを ax+b とおくと、

x4+x=(x23x+2)Q(x)+ax+b

ここで、x23x+2=(x1)(x2) より x23x+2=0 の解が x=1, 2 であるので、両辺に x=1, 2 をそれぞれ代入すると、

x=1 のとき、2=a+b

x=2 のとき、18=2a+b

① より 16=a、① に代入すると b=14

よって、16a14

重解の場合

例題

f(x)=x10(x1)2 で割った余りを求めなさい。

解答

余りが一次式になることに注意して、商を Q(x)、余りを ax+b とおくと、

x10=(x1)2Q(x)+ax+b

両辺に x=1 を代入すると、1=a+b を得る。

これだけでは情報が足りないので、両辺を x で微分してから x=1 を代入すると、

10x9=2(x1)Q(x)+(x1)2Q(x)+a

10=a

を得る。よって、余りは 10x9

注意)積の微分公式 (pq)=pq+pq を使用しています。

剰余の定理(応用問題)

問題

整式 P(x)x+1 で割ると余りが 2, x23x+2 で割ると余りが 3x+7 であるという。このとき、P(x)(x+1)(x1)(x2) で割った余りを求めなさい。

解答

P(x)(x+1)(x1)(x2) で割ったときの商を Q(x), 余りを ax2+bx+c とすると、次の等式が成り立つ。

P(x)=(x+1)(x1)(x2)Q(x)+ax2+bx+c

ここで、P(x)x+1 で割ると余りは 2 であるので P(1)=2

また、P(x)x23x+2 すなわち (x1)(x2) で割るときの商を Q1(x) とすると、P(x)=(x1)(x2)Q1(x)3x+7

ゆえに、P(1)=4 ③, P(2)=1

①, ② より ab+c=2 ②’
①, ③ より a+b+c=4 ③’
①, ④ より 4a+2b+c=1 ④’

②’ ③’ より 2b=6, b=3

③’ より a+c=1
④’ より 4a+c=5

3a=6, a=2
c=3

よって、2x2+3x+3

おわりに

今回は、剰余の定理について解説してきました。

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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