【複素数と方程式】『剰余の定理』公式とその証明と例題

「$p$ を $q$ で割るときの商を $a$,　余りを $r$ 」とすると、

　$p=aq+r$ ($0\le r<q$)

と表すことができます。

剰余の例（整数）

$17$ を $3$ で割ると、$17=3\times 5+2$ なので 余りは $2$ 

剰余の例（多項式）

$x^2+3x+1$ を $x-2$ で割ると、$x^2+3x+1=(x-2)(x+5)+11$ なので 余りは $11$ 

例題

$P(x)=x^2+5x-3$ を $x-2$ で割った余りを求めなさい。

解答

剰余の定理より $a=2$ とすると、

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $P(2)$ であることがわかる

よって、余りは、

$P(2)=2^2+5\cdot 2-3=11$

証明

多項式 $P(x)$ を$x-a$ で割ったときの商を $Q(x)$ 余りを $R$ とおくと、

$P(x)=(x-a)Q(x)+R$

この等式に $x=a$ を代入すると、$P(a)=R$ となる。

よって、 多項式 $P(x)$ を $(x-a)$ で割った余りは $P(a)$ になる

例題

$P(x)=x^4$ を $2x-1$ で割ったときの余りを求めなさい。

解答

$P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{16}}$

例題

$P(x)=x^4+x$ を $x^2-3x+2$ で割ったときの余りを求めなさい。

解答

余りは一次式になることに注意して商を $Q(x)$,　余りを $ax+b$ とおくと、

$x^4+x=(x^2-3x+2)Q(x)+ax+b$

ここで、$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ より $x^2-3x+2=0$ の解が $x=1$,　$2$ であるので、両辺に $x=1$,　$2$ をそれぞれ代入すると、

$x=1$ のとき、$2=a+b$ $\cdots$ ①

$x=2$ のとき、$18=2a+b$ $\cdots$ ②

② $-$ ① より $16=a$、① に代入すると $b=-14$

よって、$16a-14$

例題

$f(x)=x^{10}$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りを求めなさい。

解答

余りが一次式になることに注意して、商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とおくと、

$x^{10}=(x-1{)}^{2}Q(x)+ax+b$

両辺に $x=1$ を代入すると、$1=a+b$ を得る。

これだけでは情報が足りないので、両辺を $x$ で微分してから $x=1$ を代入すると、

$10x^9=2(x-1)Q(x)+(x-1{)}^2{Q}^{\prime }(x)+a$

$10=a$

を得る。よって、余りは $10x-9$

問題

整式 $P(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $-2$,　$x^2-3x+2$ で割ると余りが $-3x+7$ であるという。このとき、$P(x)$ を$(x+1)(x-1)(x-2)$ で割った余りを求めなさい。

解答

$P(x)$ を $(x+1)(x-1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$,　余りを $a{x}^2+bx+c$ とすると、次の等式が成り立つ。

$P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+a{x}^2+bx+c$ $\cdots$ ①

ここで、$P(x)$ を $x+1$ で割ると余りは $-2$ であるので $P(-1)=-2$ $\cdots$ ②

また、$P(x)$ を $x^2-3x+2$ すなわち $(x-1)(x-2)$ で割るときの商を $Q_1(x)$ とすると、$P(x)=(x-1)(x-2)Q_1(x)-3x+7$

ゆえに、$P(1)=4$ $\cdots$ ③,　$P(2)=1$ $\cdots$ ④

①, ② より $a-b+c=-2$ $\cdots$ ②’
①, ③ より $a+b+c=4$ $\cdots$ ③’
①, ④ より $4a+2b+c=1$ $\cdots$ ④’

②’ $-$ ③’ より $-2b=-6$,　$b=3$

③’ より $a+c=1$
④’ より $4a+c=-5$

$3a=-6$,　$a=-2$
$c=3$

よって、$-2x^2+3x+3$