【複素数と方程式】『高次方程式』組立除法を使った解法

組立除法

$P(x)$ が $n$ 次の整式のとき、方程式 $P(x)=0$ を $n$ 次方程式という。また、$3$ 次以上の方程式を高次方程式という。

例）$P(x)=x^2+5x+6$ について

$P(x)=0$
$⟷$ $P(x)=(x+2)(x+3)=0$
$⟷$ $A(x)=x+2=0$ または $B(x)=x+3=0$
$⟷$ $x=-2$ または $x=-3$

方程式は因数分解して各因数（$A(x)$,　$B(x)$, $\cdots$）を解く。

問題と解説

問題と解説 LEVEL1

解説）

(1)　$x^3=27$

$x^3-27=0$
$(x-3)(x^2+3x+9)=0$

因数分解の公式を確認したい方はこちら

よって、$x-3=0$ または $x^2+3x+9=0$

$x-3=0$ より $x=3$

$x^2+3x+9=0$ より

$x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 9}}{2}}$

$={\displaystyle \frac{-3\pm 3\sqrt{3}i}{2}}$

したがって、$x=3$,　${\displaystyle \frac{-3\pm 3\sqrt{3}i}{2}}$

(2)　$x^4-x^2-6=0$

$x^2=A$ とおくと、$A^2-A-6=0$

$(A-3)(A+2)=0$ より $A=3$,　$-2$

$x^2=3$ から $x=\pm \sqrt{3}$
$x^2=-2$ から $x=\pm \sqrt{2}i$

したがって、$x=\pm \sqrt{3}$,　$\pm \sqrt{2}i$

(3)　$x^4+x^2+4=0$

$x^2=A$ とおくと、 $A^2+A+4=0$ となる。ここまでは、(2) と同様だがここから因数分解が不可

$x^4+x^2+4=(x^2+2{)}^2-3x^2$

$=(x^2+2+\sqrt{3}x)(x^2+2-\sqrt{3}x)$
$=(x^2+\sqrt{3}x+2)(x^2-\sqrt{3}x+2)=0$

ゆえに、$(x^2+\sqrt{3}x+2)=0$ または $(x^2-\sqrt{3}x+2)=0$

$x^2+\sqrt{3}x+2=0$ から $x={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{5}i}{2}}$

$x^2-\sqrt{3}x+2=0$ から $x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pm \sqrt{5}i}{2}}$

したがって、$x={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{5}i}{2}}$,　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pm \sqrt{5}i}{2}}$

問題と解説 LEVEL2

(1)　$x^3+3x^2+4x+4=0$

$P(x)=x^3+3x^2+4x+4$ とおくと、

$P(-2)=(-2{)}^3+3\cdot (-2{)}^2+4\cdot (-2)+4=0$ より

① $P(x)=0$ となる $x$ を見つける。$x=-2$,　$-1$,　$0$,　$1$,　$2$ あたりを代入してみましょう。

② $P(-2)=0$ のとき、因数定理より $P(x)=(x+2)(\ast \ast \ast )$ となる。

組立除法より、$P(x)=(x+2)(x^2+x+2)=0$

$x+2=0$ または $x^2+x+2=0$

$x+2=0$ から $x=-2$

$x^2+x+2=0$ から $x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}}$

したがって、$x=-2$,　${\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}}$

(2)　$2x^4+5x^3+5x^2-2=0$

$P(x)=2x^4+5x^3+5x^2-2$ とおくと、

$P(-1)=2\cdot (-1{)}^4+5\cdot (-1{)}^3+5\cdot (-1{)}^2-2=0$ より

組立除法より、$P(x)=(x+1)(2x^3+3x^2+2x-2)=0$

$x+1=0$ または $2x^3+3x^2+2x-2=0$

$Q(x)=2x^3+3x^2+2x-2=0$ とおくと、

$Q(\frac{1}{2})=2\cdot (\frac{1}{2}{)}^3+3\cdot (\frac{1}{2}{)}^2+2\cdot \frac{1}{2}-2=0$ より

組立除法より、

$Q(x)=(x-\frac{1}{2})(2x^2+4x+4)=(2x-1)(x^2+2x+2)$

よって、$P(x)=(x+1)(2x-1)(x^2+2x+2)=0$

$x+1=0$ または $2x-1=0$ または $x^2+2x+2=0$

$x+1=0$ から $x=-1$

$2x-1=0$ から $x=\frac{1}{2}$

$x^2+2x+2=0$ から

$x={\displaystyle \frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i}$

したがって、$x=-1$,　${\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$-1\pm i$

おわりに