【ロピタルの定理】『極限の裏技』大学受験にも使える？

ロピタルの定理

　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}}$

※本当はもう少し複雑な定理です。正しくは下の内容を読んでください。

ロピタルの定理って高校数学に使えるの？

ロピタルの定理は極限を求める際に、分母分子を微分したあとに極限を求めても値は変わらないことを意味しています。理系大学生なら誰しもが知ってるかなり有名な定理です。

さて、こちらは大学受験の際にも使ってもいいのか？ということについて考えていこうと思うのですが、

結論から言うと、大学によって採点基準が様々なため、正直なんとも言えません。

でもこれだと、答えになっていないので、しっかりとした答えを考えていこうと思います。

入試の採点は、言わずもがなですが数学のプロが行います。そんなプロたちが「高校数学の範囲じゃない定理を使うなんて生意気だ！バツにしてやろう。」という思考になるとは考えにくいですよね。つまり、高校数学の範囲を超えた内容を活用して、バツもしくは減点されることはないと言えるでしょう。しかし、使用する場合には注意しなければいけないポイントがあります。それは、適用条件がある定理・法則は確認をした上で使用する必要がある。ということです。

例えば、相加・相乗平均 「${\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}}$」は、「$a\ne 0$,　$b\ne 0$」が条件となる。このことを確認せずに使用すると減点されるでしょう。このように、数学の定理・法則には、それが活用されるための条件が設定される場合があります。ロピタルの定理も同様に使用するための条件が設定されています。

ロピタルの定理の詳細

上部で述べたロピタルの定理は本当のロピタル定理ではありません。本当のロピタルは以下のものをまとめてそう呼びます。では確認していきましょう！

ロピタルの定理の問題と解説

解説）

(1)　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}}$

　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}}$$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin x{)}^{\prime }}{x^{\prime }}}$
　　　　　　$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x}{1}=1}$

(2)　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\sin x}{x^3}}$

　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{(x-\sin x{)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}}$$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{3x^2}}$
　　　$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x{)}^{\prime }}{(3x^2{)}^{\prime }}}$$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{6x}}$
　　　$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin x{)}^{\prime }}{(6x{)}^{\prime }}}$$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x}{6}=\frac{1}{6}}$

(3)　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}}$

　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}}$$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{(e^x-e^{-x}{)}^{\prime }}{(\sin x{)}^{\prime }}}$
　　　$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x}=\frac{e^0+e^0}{1}=2}$

おわりに