【集合】集合とは？集合の意味

要素
→集合に属する $1$ つ $1$ つのもの。

$a\in A$ $⟺$ $a$ は集合 $A$ の要素である
$b\notin A$ $⟺$ $b$ は集合 $A$ の要素でない

集合の表し方
(1)　要素を書き並べて表す。
(2)　要素の満たす条件を述べて表す。

例えば、$1$ 桁の正の偶数の集合 $A$ は、

(1) では、
$A=\{2$,　$4$,　$6$,　$8\}$
(2) では、
$A=\{x$ | $n$ は整数,　$1\le n\le 4\}$ など

$A$ は $B$ の部分集合である
$⟺$ $A\subset B$
$⟺$ $x\in A$ ならば $x\in B$

共通部分（交わり）
→ $A\cap B=\{x$ | $x\in A$ かつ $x\in B\}$

和集合（結び）
→ $A\cup B=\{x$ | $x\in A$ または $x\in B\}$

補集合
→ 全体集合 $U$ に属し、$U$ の部分集合 $A$ に属さない要素全体の集合。$\overline{A}$ で表す。

$\overline{A}=\{x$ | $x\in U$ かつ $x\notin A\}$
とくに、$A\cap \overline{A}=\mathrm{\varnothing }$,　$A\cap \overline{A}=U$

　$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

図

　$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$

図

集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ で表す。

(1)　$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
(2)　$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ のとき、$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$
(3)　$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$