【因数分解】条件付きの因数分解

条件付きの因数分解

今回は、条件付きの因数分解の問題を解説しようと思います。

問題文に「〜のとき」や「〜を利用して」などの条件があったら要注目です！条件があるということは、「それを使えば楽に解けるよ」というメッセージです。そのメッセージをいかにうまく受け止められるかがポイントになります！

条件付きの因数分解（問題）

(1) $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ を利用して、$a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解しなさい。

(2) (1) の結果を利用して、次の式を因数分解しなさい。

　(ア)　$x^3+y^3+3xy-1$
　(イ)　$(x-y{)}^3+(y-z{)}^3+(z-x{)}^3$

条件付きの因数分解（解説）

(1) $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ を利用して、$a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解しなさい。

【$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ の捉え方】
$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$
$⟹$ ${\mathrm{♠}}^3+{\mathrm{♣}}^3=(\mathrm{♠}+\mathrm{♣}{)}^3-3\mathrm{♠}\cdot \mathrm{♣}(\mathrm{♠}+\mathrm{♣})$
$a$ と $b$ を使った式として見るのではなく$a$ と $b$ じゃなくても使えるように柔軟に捉えておく。

$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ より

　$a^3+b^3$$+c^3-3abc$
$=$$(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ $+c^3-3abc$
$=$$(a+b{)}^3+c^3$$-3ab(a+b)-3abc$

$a+b=A$ とおくと、

$=$$A^3+c^3$$-3abA-3abc$
$=$$(A+c{)}^3-3Ac(A+c)$$-3abA-3abc$
$=$$(A+c{)}^3-3Ac(A+c)$$-3ab(A+c)$
$=$$(A+c)\{(A+c{)}^2-3Ac-3ab\}$
$=$$(A+c)(A^2+2Ac+c^2-3Ac-3ab)$

$A$ に $a+b$ を戻す。

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(2) (1) の結果を利用して、次の式を因数分解しなさい。

(1) の以下の結果を用いる。
$a^3+b^3+c^3-3abc$
$=$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

(ア)　$x^3+y^3+3xy-1$

上記の結果の $a$ に $x$ を $b$ に $y$ を $c$ に $-1$ を当てはめて考える

　$x^3+y^3-1+3xy$
$=x^3+y^3+(-1{)}^3-3xy\cdot (-1)$

(1) より

$=(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)$

(イ)　$(x-y{)}^3+(y-z{)}^3+(z-x{)}^3$

$x-y=A$, $y-z=B$, $z-x=C$ とおくと、

上記の結果の $a$ に $A$ を $b$ に $B$ を $c$ に $C$ を当てはめて考える

$=0+3ABC$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)$

おわりに