【集合】『集合の相等』2つの集合が等しいことを示す

集合の相等の証明

今回は集合の相等の証明問題です！

$2$ つの集合が等しいとは以下のことを言います。

集合 $A$ と集合 $B$ は等しい
　 $⟺$ $A = B$
　 $⟺$ $A \subset B$ かつ $B \subset A$
※全く同じ要素を持つ集合ということ

$Z$ を整数全体の集合とするとき、次の集合 $A$ , $B$ は等しいことを証明しなさい。

　 $A = {4 x + 3 y$ | $x \in Z$ ,　 $y \in Z}$ ,　 $B = {5 x + 2 y$ | $x \in Z$ ,　 $y \in Z}$

$A \subset B$ かつ $B \subset A$ であることを示す。

集合 $A$ , $B$ が $A \subset B$ （集合 $B$ が集合 $A$ の部分集合）であることを示すには、
集合 $B$ （小さい方の集合）の要素をランダムで取ってきたときに、その要素が集合 $A$ （大きい方の集合）にも属していることを示せば良い。

図のように、集合 $B$ の要素はすべて集合 $A$ に属している。

i ) $A \subset B$

任意の $a \in A$ において $a = 4 x + 3 y$ とかける。
$a = 4 x + 3 y = 5 y + 2 (2 x - y)$

$5 \times$ (整数) $+ 2 \times$ (整数) になるように式変形をする。

$y \in Z$ , $2 x - y \in Z$ より
$a \in B$ となり、 $A \subset B$

ii ) $B \subset A$

任意の $b \in B$ において $b = 5 x + 2 y$ とかける。
$b = 5 x + 2 y = 4 (2 x - y) + 3 (- x + 2 y)$

$4 \times$ (整数) $+ 3 \times$ (整数) になるように式変形をする。

$2 x - y \in Z$ , $- x + 2 y \in Z$ より
$b \in A$ となり、 $B \subset A$

i ) ii )より、 $A = B$

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

『統計の扉』で書いている記事

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。