【三角比】『余角・補角の公式』例題と解説

余角・補角の公式

余角の公式
$\sin ({90}^{\circ }-\theta )=\cos \theta$
$\cos ({90}^{\circ }-\theta )=\sin \theta$
$\tan ({90}^{\circ }-\theta )={\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$

補角の公式
$\sin ({180}^{\circ }-\theta )=\sin \theta$
$\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$
$\tan ({180}^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$

余角・補角（問題）

次の問いに答えよ。

(1) $\sin ({90}^{\circ }-\theta )-\sin ({180}^{\circ }-\theta )+\cos ({90}^{\circ }-\theta )+\cos ({180}^{\circ }-\theta )$

(2)
(ア) $\sin {70}^{\circ }$, $\cos {110}^{\circ }$ を${45}^{\circ }$ 以下の三角比で表せ。
(イ) $\sin {20}^{\circ }\cos {110}^{\circ }+\sin {70}^{\circ }\cos {160}^{\circ }$ を簡単にせよ。

余角・補角（解説）

(1) $\sin ({90}^{\circ }-\theta )-\sin ({180}^{\circ }-\theta )+\cos ({90}^{\circ }-\theta )+\cos ({180}^{\circ }-\theta )$

余角・補角の公式より
$\sin ({90}^{\circ }-\theta )=\cos \theta$
$\sin ({180}^{\circ }-\theta )=\sin \theta$
$\cos ({90}^{\circ }-\theta )=\sin \theta$
$\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$

$=\cos \theta -\sin \theta +\sin \theta -\cos \theta$
$=0$

(2)
(ア) $\sin {70}^{\circ }$, $\cos {110}^{\circ }$ を${45}^{\circ }$ 以下の三角比で表せ。

$\sin ({90}^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ より

$\sin {70}^{\circ }$
$=\sin ({90}^{\circ }-{20}^{\circ })=\cos {20}^{\circ }$

$\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ より

$\cos {110}^{\circ }$
$=\cos ({180}^{\circ }-{70}^{\circ })=-\cos {70}^{\circ }$

(イ) $\sin {20}^{\circ }\cos {110}^{\circ }+\sin {70}^{\circ }\cos {160}^{\circ }$ を簡単にせよ。

角度がバラバラなので、余角・補角の公式を用いて揃えます。

余角・補角の公式より
$\cos {110}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{70}^{\circ })=-\cos {70}^{\circ }$
$\sin {70}^{\circ }=\sin ({90}^{\circ }-{20}^{\circ })=\cos {20}^{\circ }$
$\cos {160}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{20}^{\circ })=-\cos {20}^{\circ }$

$=-\sin {20}^{\circ }\cos {70}^{\circ }-\cos {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }$

$\cos {70}^{\circ }=\cos ({90}^{\circ }-{20}^{\circ })=\sin {20}^{\circ }$ より

$=-\sin {20}^{\circ }\sin {20}^{\circ }-\cos {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }$
$=-({\sin }^2{20}^{\circ }+{\cos }^2{20}^{\circ })$

三角比の相互関係より
${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$=-1$

おわりに