【因数分解】$x$ について整理するタイプの因数分解

$x$ について整理する因数分解

一般的な「 $x^2+10x+21$ 」などの因数分解はできる方が多いのではないでしょうか？

答えは「 $(x+3)(x+7)$ 」となりますね。

積が $21$ 、和が $10$ になる組み合わせを探し、 $3$ と $7$ を導き出したわけです。

しかし、こう簡単に因数分解できないものも多数存在します。この記事では、 $1$ つの文字について整理することで、因数分解できる問題を紹介します。

一つの文字について整理する因数分解（問題）

次の式を因数分解しなさい。

（$1$）$x^3-x^{2}z-x{y}^2+y^{2}z$
（$2$）$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$

答案の例

（$1$）　$x^3-x^{2}z-x{y}^2+y^{2}z$
　　　　$=(-x^2+y^2)z+x(x^2-y^2)$
　　　　$=-(x^2-y^2)z+x(x^2-y^2)$
　　　　$=(x^2-y^2)(x-z)$
　　　　$=(x+y)(x-y)(x-z)$

（$2$）　$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$
　　　　$=2x^2-(5y-3)x-3y^2+5y-2$
　　　　$=2x^2-(5y-3)x-(y-1)(3y-2)$
　　　　$=\{x-(3y-2)\}\{2x+(y-1)\}$
　　　　$=(x-3y+2)(2x+y-1)$

解説

（$1$）

今回の問題のように、複数の文字が入っている場合の因数分解では、何かの文字について整理するという思考が非常に役立ちます。

とりあえず、すべての文字について、降べきの順に並べてみる（次数の高い項から順に並べる）ことから始めてみましょう。

　$x$ について　$⟶x^3-x^{2}z-x{y}^2+y^{2}z$
　$y$ について　$⟶(z-x)y^2+x^3-x^{2}z$
　$z$ について　$⟶(-x^2+y^2)z+x^3-x{y}^2$

$x$ についてはすでに問題で整理されていたのでいいとして、$y$ と $z$ についての整理された式を見てみましょう。
こういった問題の基本形は、整理された後の式の定数項を見ると、まだ因数分解できます。

実際、$y$ についての式では、$(z-x)y^2+x^2(x-z)$
$z$ についての式では、$(-x^2+y^2)z+x(x^2-y^2)$
のように、共通因数でくくることができますね。

そうすると、前半の項と後半の項で、再び共通因数のように見える部分があります。
このように、少しずつ因数分解ができてくるわけです。

複数の文字が入った因数分解は、

①　ある文字について、降べきの順に並べる
②　定数項に当たる部分を因数分解してみる
③　その後、式全体を見て、再び因数分解できるかを考える

というステップで考えていく！

今回の解答例では、 $z$ に関して整理して解いているので、 $z$ について整理した式で考えていきます。

$z$ についての式は、上記で紹介したように、$(-x^2+y^2)z+x(x^2-y^2)$ です。
また、手前の項について、マイナスでくくると、

$$-(x^2-y^2)z+x(x^2-y^2)$$

となりますね。こうすることで、 $x^2-y^2$を共通因数と見ることができるため、

　$(x^2-y^2)(x-z)$
$=(x+y)(x-y)(x-z)$

と因数分解できます。

（$2$）

今回も先程と同様、ある文字について降べきの順に並べるところから始めていきます。
解答例では $x$ について並べ替えているため、 $x$ に焦点を絞ってまとめていきましょう。

　$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$
$=2x^2-(5y-3)x-3y^2+5y-2$

こうしてみると、定数項の部分が $y$ に関する $2$ 次方程式になっているので、因数分解できないか考えてみます。

因数分解するためのたすき掛けを組むと上記のようになり、これにより、$(y-1)(-3y+2)$ となります。
※解答例とは少し違う形になっていますが、マイナスを $3y-2$ に含まれば同じ結果となります。

ここで再度式を見て見ると、

　$2x^2-(5y-3)x-3y^2+5y-2$
$=2x^2-(5y-3)x+(y-1)(-3y+2)$

これを $x$ についての方程式と見なして、たすき掛けなどによる因数分解を試みてみます。

これによって、((x-3y+2)(2x+y-1))という結果を得ます。

おわりに