【微分】区間における関数の最大・最小

三次関数/四次関数の最大・最小

今回は三次関数や四次関数の最大・最小問題です！

基本的には、二次関数の最大・最小を求めるときの流れと同様にして解いていきます。

つまり、「グラフを描いて、\(y\) 軸の高低で最大・最小を求める」です。

”グラフを描く”の部分が二次関数とは違い、微分法を用います。

では、例題を見ていきましょう！

関数の最大・最小（問題）

次の関数の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの \(x\) の値を求めよ。

(1)　\(y=x^3-6x^2+10\)　\((-2\leq x\leq 3)\)
(2)　\(y=3x^4-4x^3-12x^2\)　\((-1\leq x\leq 3)\)

解説

(1)　\(y=x^3-6x^2+10\)　\((-2\leq x\leq 3)\)

\(y’=3x^2-12x\)

\(y’=0\) とおくと、

　\(3x^2-12x=0\)
　\(3x(x-4)=0\)
　\(x=0\),　\(4\)

上記のグラフを見ながら増減表を書くと、

増減表より、
\(x=0\) のとき最大値 \(10\)
\(x=4\) のとき最小値 \(-22\)

(2)　\(y=3x^4-4x^3-12x^2\)　\((-1\leq x\leq 3)\)

\(y’=12x^3-12x^2-24x\)

\(y’=0\) とおくと、

　　\(12x^3-12x^2-24x=0\)
　　\(12x(x^2-x-2)=0\)
　　\(12x(x-2)(x+1)=0\)
　　\(x=-1\),　\(0\),　\(2\)

上記のグラフを見ながら増減表を書くと、

増減表より、
\(x=3\) のとき最大値 \(27\)
\(x=2\) のとき最小値 \(-8\)

おわりに