【図形の性質】チェバの定理とその覚え方

チェバの定理の覚え方

① 図の頂点の流れで覚える。
② 定理の日本語をセットで覚える。
　※片方だけでなく両方を意識して覚えると良いです。①だけ覚えてる方が多いですが、それだけだと形が少し変わっただけで対応できなくなるので両方覚えておくのがおすすめです。

チェバの定理の証明

　上の図のように、底辺 $OA$ を共有する $\mathrm{△}OAB$,　$\mathrm{△}OAC$ があり、直線 $OA$,　$BC$ が点 $D$ で交わるとする。また、$2$ 点 $B$,　$C$ から直線 $OA$ に下ろした垂線をそれぞれ $BH$,　$CK$ とすると、線分 $BH$ と $CK$ は平行なので、

$\mathrm{△}CKD\sim \mathrm{△}BHD$ より
※$\sim$：相似の記号

　$BH:CK=BD:CD$

　$BH\cdot CD=BD\cdot CK$

　${\displaystyle \frac{BH}{CK}=\frac{BD}{DC}}$　($CD=DC$)$\cdots$ ①

ここで、$\mathrm{△}OAB$ と $\mathrm{△}OAC$ は辺 $OA$ を共通の底辺としていることから、

　$\mathrm{△}OAB:\mathrm{△}OAC=BH:CK$

　$\mathrm{△}OAC\cdot BH=\mathrm{△}OAB\cdot CK$

　${\displaystyle \frac{\mathrm{△}OAB}{\mathrm{△}OAC}=\frac{BH}{CK}}$ $\cdots$ ②

となり、①、② より

　${\displaystyle \frac{\mathrm{△}OAB}{\mathrm{△}OAC}=\frac{BD}{DC}}$ $\cdots$ ③

同様に考えると、

　${\displaystyle \frac{\mathrm{△}OBC}{\mathrm{△}OAB}=\frac{CE}{EA}}$$\cdots$ ④

　${\displaystyle \frac{\mathrm{△}OCA}{\mathrm{△}OBC}=\frac{AF}{FB}}$$\cdots$ ⑤

④、⑤、⑥ の辺々を掛けると、

　${\displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{△}OAB}{\mathrm{△}OAC}\cdot \frac{\mathrm{△}OBC}{\mathrm{△}OAB}\cdot \frac{\mathrm{△}OCA}{\mathrm{△}OBC}=1}$$\cdots$ ⑤

よって、

　${\displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1}$

チェバの定理の問題

$1$ 辺の長さが $7$ の三角形 $ABC$ がある。辺 $AD$、$AC$ 上に $AD=3$、 $AE=6$ となるように $2$ 点 $D$、$E$ をとる。このとき、$BE$、$CD$ の交点を $F$、直線 $AF$、$BC$ との交点を $G$ とする。線分 $CG$ の長さを求めよ。

（解説）

$AD=3$,　$DB=7-3=4$,　$AE=6$,　$CE=7-6=1$

チェバの定理より

　${\displaystyle \frac{AD}{DB}\cdot \frac{BG}{GC}\cdot \frac{CE}{EA}=1}$

ゆえに、

　${\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \frac{BG}{GC}\cdot \frac{1}{6}=1}$

よって、

　$BG=8GC$

したがって、

　$CG:BG=1:8$

このことにより、

　$CG=BC\cdot {\displaystyle \frac{1}{1+8}=\frac{7}{9}}$

おわりに