【平方根】二重根号の仕組みと外し方

二重根号の外し方

今回は $2$ 重根号の仕組みと外し方について紹介します。

やり方を覚えてしまえばそれまでですが、理論を知っていれば、その考え方を他の公式や問題にも応用できるようになり、「覚える数学」から抜け出せるきっかけになるかもしれません。

では、実際に見ていきましょう。

二重根号の公式とその導出

二重根号の外し方（問題）

次の式を簡単にしなさい。

($1$) $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
($2$) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

答案の例

（$1$）

　$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
$=\sqrt{5+3+2\sqrt{5\times 3}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{3}$

（$2$）

　$\sqrt{3+\sqrt{5}}$
$=\sqrt{{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{2}}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}}$

解説

（$1$）　

まずは、一般的な $2$ 重根号の外し方を紹介します。

根号（ルート）というものは、いわゆる ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 乗なので、例えば $\sqrt{3}$は、 $3^{\frac{1}{2}}$ ということです。

この性質を使うことで、$\sqrt{3^2}$ など、根号の中身が $2$ 乗の形になっているものに関して、根号を外すことができたわけです。

細かな途中式を書くと、

　$\sqrt{3^2}$
$=(3^2{)}^{\frac{1}{2}}$
$=3^{(2\times \frac{1}{2})}$
$=3$

のように計算することができるわけです。

ここで重要な知識は、根号の中身を $2$ 乗の形で表せば、根号を外すことができる、という事実です。

つまり今回の問題で言えば、 根号の中身である $8+2\sqrt{15}$ を $2$ 乗の形で表すことができれば、一番外側の根号を外すことができるということになります。

次に、 $2$ 乗の形を作り出すためには、

　$x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$

の因数分解の公式を使って式変形を行うことになります。

みなさん、 この因数分解を行うとき、真ん中の $2xy$ に着目して考え始めませんか？

この項は、 $(x+y{)}^2$ の $x$ 、 $+y$ 、$2$ の $3$ つを掛け合わせることによってできていますね。
例えば、 $x^2+6x+9$ の因数分解をする場合、真ん中の $6x$ は $x$ 、 $3$ 、$2$ の $3$ つを掛け合わせてできています。
これにより、 $(x+3{)}^2$ がでてきますね。

おわかりのように、真ん中の項には $2$ が確定でかけ算されています。
ルートが入っている問題でも同様に、真ん中の項にあたる $2$ 倍されている項に着目するのです。

このことを念頭に置きながら、具体的に本問を見ていきましょう。

今回は、$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ の中にある $2$ つの項を見ると、どちらも $2$ が掛けられており、因数分解の際の真ん中の項になる可能性があります。

まず $8$ が真ん中の項になると考えてみます。

しかし、 $8$ を $3$ つのかけ算に分解しても、意味がないことがわかりますでしょうか？
（例えば、 $2\times 1\times 4$ のように考えても、 $(1+4{)}^2$ のように因数分解される？、とよくわからなくなりますね。）

よって、真ん中の項になり得るのは、 $2\sqrt{15}$ のほうということになります。

この数での分解候補は、

　$2\times \sqrt{3}\times \sqrt{5}$
　$2\times \sqrt{1}\times \sqrt{15}$

の $2$ 通りです。

これらを因数分解した形で表そうとすると、

　$(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2$
　$(\sqrt{1}+\sqrt{15}{)}^2$

となるので、これらを展開してもとの $8+2\sqrt{15}$ という式に戻れば、因数分解成功となります。

つまり、$(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2$ の因数分解が正解だったということがわかります。

$2$ 乗すると、$\sqrt{3}$ と $\sqrt{5}$ のルートが外れるので、 $3+2\sqrt{15}+5$ となり、 $8+2\sqrt{15}$ となりますね。

よって、 $2$ 重根号の中身が因数分解できたため、

　$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
$=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{3}$

のように変形し、答えを導くことができるのです。

$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ の $2$ 重根号を外すときは、 $2\sqrt{b}$ に着目し、一番外側のルートの中身を因数分解すると式を整理できる。

まず、 $2\sqrt{b}=2\times \sqrt{x}\times \sqrt{y}$ となる $x$ と $y$ を探す。

次に、この $x$ と $y$ に関して $(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2$ を作ってみて、展開して$a+2\sqrt{b}$ に戻れば、因数分解成功となる。

（$2$）

こちらも同じように、まずは$2\sqrt{b}$となっている項に着目したいのですが、見てわかる通り、$2\sqrt{b}$になっている項がありません。

こういう場合、上記の規則性を使える形に式を少し変形する必要があります。

むりやり $3+\sqrt{5}$ を $3+2\sqrt{5}$ にしてみます。しかし、この場合もとの式と値が変わってしまうため、$2\sqrt{5}$ を作りつつ、もとの式と値が変わらないように、うまく式全体を変形しなければなりません。

そこで、全体を $2$ 倍して $2$ で割るという手法を取ります。

つまり、 $3+\sqrt{5}$ を $2$ 倍して $6+2\sqrt{5}$ とし、それを $2$ で割って ${\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{2}}$ を作るわけです。
こうすれば、もとの式と結果的に値は変わりませんね。かつ、分子を見ると、ちゃんとルートの前に $2$ が入っています。

$2\sqrt{b}$ の $2$ がない場合、式が変わらないようにしながら、むりやり $2$ を作り出そう

これで式全体を見てみると、

　$\sqrt{{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{2}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}}$

となるため、分子に関して、（$1$）と同じように、 $2$ 重根号を外してみます。

今回の場合、

　$2\sqrt{5}=2\times \sqrt{5}\times \sqrt{1}$

しかパターンがないので、 $(\sqrt{5}+\sqrt{1}{)}^2$ を作ります。

念のため展開してみると、

　$(\sqrt{5}+\sqrt{1}{)}^2$
$=5+2\sqrt{5}+1$
$=6+2\sqrt{5}$

となり、もとの分子に戻りますね。

よって、

　${\displaystyle \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1}{)}^2}}{\sqrt{2}}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}}$

となり、最後に有理化を行って、${\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}}$ を導きます。

おわりに