【図形の性質】方べきの定理

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方べきの定理

$P A \times P B = P C \times P D$

$P A \times P B = P C \times P D$

$P A \times P B = P C^{2}$

方べきの定理タイプ1とその証明
1. 方べきの定理タイプ1
2. 方べきの定理タイプ1の証明
方べきの定理タイプ2とその証明
1. 方べきの定理タイプ2
2. 方べきの定理タイプ2の証明
方べきの定理タイプ3とその証明
1. 方べきの定理タイプ3
2. 方べきの定理タイプ3の証明
方べきの定理の覚え方
座標を用いた方べきの定理の証明
方べきの定理の問題
おわりに

方べきの定理タイプ1とその証明

方べきの定理タイプ1

円周上に点 $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ ,　 $D$ がある。 $A B$ と $C D$ が円の内部の点 $P$ で交わるとき、

　 $P A \times P B = P C \times P D$

方べきの定理タイプ1の証明

円周角の定理より、

　 $∠ P A C = ∠ P D B$

　 $∠ P C A = ∠ P B D$

よって、 $2$ 組の角がそれぞれ等しいので、三角形 $P A C$ と $P D B$ は相似。

したがって、 $P A : P D = P C : P B$

　 $P A \times P B = P C \times P D$

となり、方べきの定理が成立する。

方べきの定理タイプ2とその証明

方べきの定理タイプ2

円周上に点 $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ ,　 $D$ がある。 $A B$ と $C D$ が円の外部の点 $P$ で交わるとき、

　 $P A \times P B = P C \times P D$

方べきの定理タイプ2の証明

円に内接する四角形の性質より

　 $∠ P A C = ∠ P D B$

　 $∠ P C A = ∠ P B D$

よって、 $2$ 組の角がそれぞれ等しいので、三角形 $P A C$ と $P D B$ は相似。

したがって、 $P A : P D = P C : P B$

　 $P A \times P B = P C \times P D$

となり、方べきの定理が成立する。

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方べきの定理タイプ3とその証明

方べきの定理タイプ3

円周上に点 $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ がある。直線 $A B$ と $C$ における接線が $P$ で交わるとき、

　 $P A \times P B = P C^{2}$

方べきの定理タイプ3の証明

接弦定理より、

　 $∠ P C A = ∠ P B C$

また、 $∠ P$ は共通。

よって、 $2$ 組の角がそれぞれ等しいので、三角形 $P A C$ と $P C B$ は相似。

したがって、 $P A : P C = P C : P B$

　 $P A \times P B = P C \times P C$

となり、方べきの定理が成立する。

方べきの定理の覚え方

$P A \times P B = P C \times P D$

$P A \times P B = P C \times P D$

$P A \times P B = P C^{2}$

この $3$ つの公式、似ていると感じる人もいるでしょう。

証明をするにあたって、三角形の相似を使用しましたが、そのために使用した道具は「円周角の定理」「内接四角形の性質」「接弦定理」と異なりました。

しかし、座標を用いることで3タイプを同時に証明することができます。

座標を用いた方べきの定理の証明

（方針）

円 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ,　点 $P (p$ ,　 $9)$ とします。点 $P$ を通る直線 $l$ は傾き $k$ を用いて、 $y = k (x - p)$ と書け、このとき $l$ と $C$ の交点を $A$ ,　 $B$ をおきます（交点が $1$ つのときは $A = B$ 。

$P A \times P B$ が $k$ によらないことを示せば良いです。 $k$ による場合、もう $1$ 本引いたときの $P C \times P D$ の値が変わり、 $P A \times P B = P C \times P D$ となりません。

（証明）

$l$ と $C$ の方程式から $y$ を消去すると、

　 $x^{2} (1 + k^{2}) - 2 k^{2} p x + k^{2} p^{2} - r^{2} = 0$

$A$ ,　 $B$ の $x$ 座標を $α$ ,　 $β$ とおくと、

解と係数の関係より

　 $α + β = \frac{2 k^{2} p}{1 + k^{2}}$

　 $α β = \frac{k^{2} p^{2} - r^{2}}{a + k^{2}}$

また、上図のように $l$ と $x$ 軸がなす角を $θ$ とおくと、

　 $P A = \frac{| p - α |}{\cos θ}$

　 $P B = \frac{| p - β |}{\cos θ}$

より、

　 $P A \times P B$

$= \frac{| (p - α) (p - β) |}{c o s^{2} θ}$

$= (1 + t a n^{2} θ) | p^{2} - (α + β) p + α β |$

$= (1 + k^{2}) | p^{2} - \frac{2 k^{2} p^{2}}{1 + k^{2}} + \frac{k^{2} p^{2} - r^{2}}{a + k^{2}} |$

$= | p^{2} - r^{2} |$

となり傾き $k$ によらない。

方べきの定理の問題

図で $x$ の値を求めよ。

(1)

(2)

（解説）

(1)　方べきの定理タイプ 2 より

　 $5 \times (5 + x) = 6 \times (6 + 3)$
　 $25 + 5 x = 54$
　 $5 x = 29$
　 $x = \frac{29}{5}$

(2)　方べきの定理タイプ 1 より

　 $6 \times 5 = 4 \times x$
　 $30 = 4 x$
　 $x = \frac{15}{2}$

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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