ベクトルの大きさ
今回はベクトルの大きさの最小値問題です。
\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|\) の大きさを求めるような問題を扱います。このままの形だとなにもわかりません。
「絶対値がついているときは、とりあえず２乗する。」
と覚えておきましょう。以下で詳しく説明していきます。
ベクトルの絶対値の２乗
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\)
こちらの式は、このままだとなにもわかりません。しかし、２乗すると
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\sqrt{5}^2\)
\(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=5\)
となり、\(|\overrightarrow{a}|\), \(|\overrightarrow{b}|\) の値がわかっていれば 、
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\) の値を求めることができます。
このように、\(2\) 乗すると展開により分解され、解き進めやすくなる場合が多いです。
ベクトルの基礎・基本
問題を解く上で、ベクトルの基礎基本を押さえておく必要があります。
・ベクトルとは
・ベクトルの四則演算
・ベクトルの内積
↓確認したい方はこちら
ベクトルの大きさ（問題）
ベクトル \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) について \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\) であるとき
(1) 内積 \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\) の値を求めよ。
(2) ベクトル \(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|\) の大きさを求めよ。
(3) ベクトル \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の大きさが最小となるように実数 \(t\) の値を定め、そのときの最小値を求めよ。
＞＞詳細はこちらから
答案の例
(1)
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=(\sqrt{5})^2\)
\(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=5\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\) より
\(\sqrt{3}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\sqrt{2}^2=5\)
\(3-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2=5\)
\(-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\)
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\) \(\cdots\) ※
(2)
\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^2\)
\(=2^2|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+3^2|\overrightarrow{b}|^2\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\) と(1) の※より
\(=4(\sqrt{3})^2-12\cdot 0+9(\sqrt{2})^2\)
\(=4\cdot 3+9\cdot 2=30\)
よって、\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{30}\)
(3)
\(|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t^2|\overrightarrow{b}|^2\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\) と(1) の※より
\(=3+2t^2\)
\(=2t^2+3\)
頂点 \((0\), \(3)\)
よって、\(t=0\) のとき最小値 \(\sqrt{3}\)
解説
(1)
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\) の両辺を２乗する。
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=(\sqrt{5})^2\)
\(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=5\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\) より
\(\sqrt{3}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\sqrt{2}^2=5\)
\(3-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2=5\)
\(-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\)
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\) \(\cdots\) ※
(2)
\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|\) を２乗する。
\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^2\)
\(=2^2|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+3^2|\overrightarrow{b}|^2\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\) と(1) の※より
\(=4(\sqrt{3})^2-12\cdot 0+9(\sqrt{2})^2\)
\(=4\cdot 3+9\cdot 2=30\)
よって、\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^2=30\)
最初に２乗しているので、元に戻す。
\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{30}\)
(3)
\(|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|\) のままだと何もわからないので、２乗する。
\(|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t^2|\overrightarrow{b}|^2\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\) と(1) の※より
\(=3+2t^2\)
\(=2t^2+3\)
頂点 \((0\), \(3)\)
よって、\(t=0\) のとき最小値 \(\sqrt{3}\)
おわりに
今回は、ベクトルの大きさの最小値問題でした。
ベクトルの基本知識はもちろんのこと、二次関数の最小値問題の解法も覚えている必要があります。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
【最新】こちらの記事がおすすめ！