【ベクトル】『ベクトルの大きさ』ベクトルの大きさの最小値問題

ベクトルの大きさ

今回はベクトルの大きさの最小値問題です。

$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$ の大きさを求めるような問題を扱います。このままの形だとなにもわかりません。

「絶対値がついているときは、とりあえず２乗する。」

と覚えておきましょう。以下で詳しく説明していきます。

ベクトルの絶対値の２乗

ベクトルの大きさが与えられていたら２乗しましょう！

ベクトルの基礎・基本

問題を解く上で、ベクトルの基礎基本を押さえておく必要があります。

・ベクトルとは
・ベクトルの四則演算
・ベクトルの内積

ベクトルの大きさ（問題）

ベクトル $\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$ について  $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,　$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$,　$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$ であるとき

(1)　内積 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ の値を求めよ。

(2)　ベクトル $|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$ の大きさを求めよ。

(3)　ベクトル $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ の大きさが最小となるように実数 $t$ の値を定め、そのときの最小値を求めよ。

答案の例

(1)

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=(\sqrt{5}{)}^2$
$|\overrightarrow{a}{|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2=5$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,　$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ より

${\sqrt{3}}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\sqrt{2}}^2=5$
$3-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2=5$
$-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ $\cdots$ ※

(2)

$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}{|}^2$
$=2^2|\overrightarrow{a}{|}^2-12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+3^2|\overrightarrow{b}{|}^2$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,　$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ と(1) の※より

$=4(\sqrt{3}{)}^2-12\cdot 0+9(\sqrt{2}{)}^2$
$=4\cdot 3+9\cdot 2=30$

よって、$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{30}$

(3)

$|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}{|}^2$
$=|\overrightarrow{a}{|}^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t^2|\overrightarrow{b}{|}^2$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,　$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ と(1) の※より

$=3+2t^2$
$=2t^2+3$
頂点 $(0$,　$3)$

よって、$t=0$  のとき最小値 $\sqrt{3}$

解説

(1)

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$ の両辺を２乗する。

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=(\sqrt{5}{)}^2$
$|\overrightarrow{a}{|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2=5$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,　$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ より

${\sqrt{3}}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\sqrt{2}}^2=5$
$3-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2=5$
$-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ $\cdots$ ※

(2)

$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$ を２乗する。

$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}{|}^2$
$=2^2|\overrightarrow{a}{|}^2-12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+3^2|\overrightarrow{b}{|}^2$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,　$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ と(1) の※より

$=4(\sqrt{3}{)}^2-12\cdot 0+9(\sqrt{2}{)}^2$
$=4\cdot 3+9\cdot 2=30$

よって、$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}{|}^2=30$

最初に２乗しているので、元に戻す。

$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{30}$

(3)

$|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|$ のままだと何もわからないので、２乗する。

$|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}{|}^2$
$=|\overrightarrow{a}{|}^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t^2|\overrightarrow{b}{|}^2$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,　$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ と(1) の※より

$=3+2t^2$
$=2t^2+3$
頂点 $(0$,　$3)$

よって、$t=0$  のとき最小値 $\sqrt{3}$

おわりに

今回は、ベクトルの大きさの最小値問題でした。

ベクトルの基本知識はもちろんのこと、二次関数の最小値問題の解法も覚えている必要があります。