【三角比】三角形の角の大きさと辺の長さの関係

（証明）

次のような直線 $AB$ と直線 $AB$ 上の点 $Q$ を考える。

直線 $AB$ 上に点 $Q$ をとり、$\mathrm{\angle }PQB$ を考える。点 $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$H$ より $A$ 側に点 $Q$ があるとき、$\mathrm{\angle }PQB$ は鋭角になり、線分 $BH$ 上に点 $Q$ があるときは $\mathrm{\angle }PQB$ は鈍角になる。

この結果から、点 $Q$ を $A$ から $B$ の方へ動かすにつれて、$\mathrm{\angle }PQB$ は大きくなることが分かる。

まず、$AC>BC$ である $\mathrm{△}ABC$ について、$A<B$ であることを証明する。$BC=CD$ となるように辺 $AC$ 上に点 $D$ をとると、$\mathrm{△}BCD$ は二等辺三角形であるから、$\mathrm{\angle }CDB=\mathrm{\angle }CBD$ となる。

ここで、$\mathrm{\angle }BAC<\mathrm{\angle }BDC$ であるから、$\mathrm{\angle }BAC<\mathrm{\angle }CBD$、すなわち $A<B$ である。逆に $A<B$ のときも同様に考えれば $AC>BC$ であることは明らかである。したがって、三角形の $2$ 辺の大小関係は、その向かい合う角の大小関係と一致する。

【三角形の形状を調べる方法】

三角形の内角の1つに着目したとき、その角が鋭角・直角・鈍角かを調べるには、その角のコサインの符号を調べれば良い。例えば、$A$ を調べるときは、余弦定理を利用して

　$\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$

の符号を調べれば良い。ここで、分母の $2bc$ は常に正であるから、$\cos A$ の符号と $b^2+c^2-a^2$ の符号は一致する。つまり、$b^2+c^2-a^2$ の符号を調べれば良いことになる。ちなみにこれは $a^2$ と $b^2+c^2$ の大小関係を調べることと同じである。

問題

$\mathrm{△}ABC$ において、3辺の長さが次のようなとき、$\mathrm{△}ABC$ は鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれかであるか。
(1)　$a=4$,　$b=3$,　$c=2$
(2)　$a=5$,　$b=6$,　$c=7$
(3)　$a=12$,　$b=13$,　$c=5$