ベクトルの成分表示
ベクトルといえば、向きと大きさで表されるものですね。
\(\overrightarrow{a}=3\)としたくなりますが、ベクトルは大きさだけでなく、向きも含めた概念です。そのためこのように表すことはできませ。
しかし、\(\overrightarrow{a}=(1\), \(2)\) のように、座標で表すことによって座標平面上で扱うことはできます。
ベクトルの成分表示
ベクトルは、座標平面上で \(\overrightarrow{a}=(x_1\), \(y_1)\) のように表されます。
このように、座標で表すことをベクトルの成分表示と言います。
例）
\(\overrightarrow{a}=(3\), \(4)\)
ベクトルの大きさを求める公式
\(\overrightarrow{a}=(a_1\), \(a_2)\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
\(|\overrightarrow{a}|^2=a_1^2+a_2^2\)
例）\(\overrightarrow{a}=(3\), \(4)\) の大きさを求めよ。
図のように、\(\triangle{OAB}\) に対して、三平方の定理を用いる。
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{25}=5\)
内積の求め方
\(\overrightarrow{a}=(a_1\), \(a_2)\), \(\overrightarrow{b}=(b_1\), \(b_2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\times b_1+a_2\times b_2\)
ベクトルの成分表示（問題）
\(\overrightarrow{a}=(2\), \(1)\), \(\overrightarrow{b}=(3\), \(4)\) に対して、
\(|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値を求めよ。
＞＞詳細はこちらから
ベクトルの成分表示（答案の例）
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=(2\), \(1)+\) \(t(3\), \(4)\)
\(=(2+3t\), \(1+4t)\)
よって、
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(2+3t)^2+(1+4t)^2\)
\(=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)
\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)
グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)
（別解）※ 計算が少し複雑です。
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)
ここで、
\(|\overrightarrow{a}|^2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)
\(|\overrightarrow{b}|^2=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3+1\times 4=10\)
よって、
\(|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)
\(=\sqrt{5}^2+2t\times 10+5^2\cdot t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)
\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)
グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)
ベクトルの成分表示（解説）
\(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) を成分表示する
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(2\), \(1)+\) \(t(3\), \(4)\)
\(=(2+3t\), \(1+4t)\)
成分表示できたので、次に \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\) を求める。
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(2+3t)^2+(1+4t)^2\)
\(=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)
平方完成をする
\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)
グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)
（別解）※ 計算が少し複雑です。
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) を \(2\) 乗する
\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)
\(|\overrightarrow{a}|\) と \(|\overrightarrow{b}|\) の大きさを求める。
\(|\overrightarrow{a}|^2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)
\(|\overrightarrow{b}|^2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{5}\)
内積 \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\) を求める
\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3+1\times 4=10\)
それぞれを代入する
\(|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2t^2\)
\(=\sqrt{5}^2+2t\times 10+5^2\cdot t^2\)
\(=25t^2+20t+5\)
平方完成をし、グラフを描く
\(=25\left(t^2+\displaystyle\frac{4}{5}\right)+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2\right\}+5\)
\(=25\left\{\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-\displaystyle\frac{4}{25}\right\}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-25\times\displaystyle\frac{4}{25}+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2-4+5\)
\(=25\left(t+\displaystyle\frac{2}{5}\right)^2+1\)
グラフより \(t=-\displaystyle\frac{2}{5}\) のとき、最小値 \(1\)
おわりに
ベクトルの成分表示
ベクトルは、座標平面上で \(\overrightarrow{a}=(x_1\), \(y_1)\) のように表されます。
このように、座標で表すことをベクトルの成分表示と言います。
成分表示させることにより、いろんな計算が可能となりました。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
【最新】こちらの記事がおすすめ！