【ベクトル】成分表示

ベクトルの成分表示

ベクトルといえば、向きと大きさで表されるものですね。

$\overrightarrow{a}=3$としたくなりますが、ベクトルは大きさだけでなく、向きも含めた概念です。そのためこのように表すことはできませ。

しかし、$\overrightarrow{a}=(1$,　$2)$ のように、座標で表すことによって座標平面上で扱うことはできます。

ベクトルの大きさを求める公式

$\overrightarrow{a}=(a_1$,　$a_2)$
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
$|\overrightarrow{a}{|}^2=a_1^2+a_2^2$

内積の求め方

$\overrightarrow{a}=(a_1$,　$a_2)$,　$\overrightarrow{b}=(b_1$,　$b_2)$ のとき、
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\times b_1+a_2\times b_2$

ベクトルの成分表示（問題）

$\overrightarrow{a}=(2$,　$1)$,　$\overrightarrow{b}=(3$,　$4)$ に対して、

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求めよ。

ベクトルの成分表示（答案の例）

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=(2$,　$1)+$ $t(3$,　$4)$
$=(2+3t$,　$1+4t)$

よって、

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}{|}^2$
$=(2+3t{)}^2+(1+4t{)}^2$
$=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2$
$=25t^2+20t+5$
$=25(t^2+{\displaystyle \frac{4}{5}})+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2\}+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\displaystyle \frac{4}{25}}\}+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-25\times {\displaystyle \frac{4}{25}+5}$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-4+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+1$

グラフより $t=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ のとき、最小値 $1$

（別解）※　計算が少し複雑です。

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}{|}^2$
$=|\overrightarrow{a}{|}^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2{t}^2$

ここで、

$|\overrightarrow{a}{|}^2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
$|\overrightarrow{b}{|}^2=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3+1\times 4=10$

よって、

$|\overrightarrow{a}{|}^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2{t}^2$
$={\sqrt{5}}^2+2t\times 10+5^2\cdot t^2$
$=25t^2+20t+5$
$=25(t^2+{\displaystyle \frac{4}{5}})+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2\}+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\displaystyle \frac{4}{25}}\}+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-25\times {\displaystyle \frac{4}{25}+5}$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-4+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+1$

グラフより $t=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ のとき、最小値 $1$

ベクトルの成分表示（解説）

$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$ を成分表示する

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(2$,　$1)+$ $t(3$,　$4)$
$=(2+3t$,　$1+4t)$

成分表示できたので、次に $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}{|}^2$ を求める。

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}{|}^2$
$=(2+3t{)}^2+(1+4t{)}^2$
$=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2$
$=25t^2+20t+5$

平方完成をする

$=25(t^2+{\displaystyle \frac{4}{5}})+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2\}+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\displaystyle \frac{4}{25}}\}+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-25\times {\displaystyle \frac{4}{25}+5}$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-4+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+1$

グラフより $t=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ のとき、最小値 $1$

（別解）※　計算が少し複雑です。

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ を $2$ 乗する

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}{|}^2$
$=|\overrightarrow{a}{|}^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2{t}^2$

$|\overrightarrow{a}|$ と $|\overrightarrow{b}|$ の大きさを求める。

$|\overrightarrow{a}{|}^2=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
$|\overrightarrow{b}{|}^2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{5}$

内積 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ を求める

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3+1\times 4=10$

それぞれを代入する

$|\overrightarrow{a}{|}^2+2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2{t}^2$
$={\sqrt{5}}^2+2t\times 10+5^2\cdot t^2$
$=25t^2+20t+5$

平方完成をし、グラフを描く

$=25(t^2+{\displaystyle \frac{4}{5}})+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2\}+5$
$=25\{{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-{\displaystyle \frac{4}{25}}\}+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-25\times {\displaystyle \frac{4}{25}+5}$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2-4+5$
$=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+1$

グラフより $t=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ のとき、最小値 $1$

おわりに

成分表示させることにより、いろんな計算が可能となりました。