【確率分布と統計的な推測】期待値と分散

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期待値： $E (X) = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} p_{k}$

分散： $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$

期待値と分散
1. 期待値の例
期待値と分散の問題
おわりに

期待値と分散

確率変数 $X$ : $x_{1}$ ,　 $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ に対して、対応する確率 $P$ : $p_{1}$ ,　 $p_{2}$ , $\dots$ , $p_{n}$ が存在する時、期待値と分散は以下のように求める。

期待値

$E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$

　 $= \sum_{k = 1}^{n} x_{k} p_{k}$

分散

$E (X) = m$ とすると、

分散 $V (X) = E ((X - m)^{2})$

$= (x_{1} - m)^{2} p_{1} + (x_{2} - m)^{2} p_{2} + \dots + (x_{n} - m)^{2} p_{n}$

　 $= \sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - m)^{2} p_{n}$

　 $= E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$

標準偏差

$σ (X) = \sqrt{V (X)}$

期待値の例

あるゲームを例にして説明していきます。

$\frac{1}{2}$ の確率で $300$ 円、 $\frac{1}{3}$ の確率で $600$ 円、 $\frac{1}{6}$ の確率で $1200$ 円もらえるゲームを考える。

期待値とは、ある事柄に対してどれくらいの価値が得られる見込みがあるかを数値化したものです。ゲームセンターやパチンコなどは $1000$ 円で $1000$ 円以下の期待だから運営側が得をするわけですね。

スクロールできます

$300$ 円	$600$ 円	$1200$ 円
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

このような表を作成する。このとき、 $300$ 円,　 $500$ 円,　 $1200$ 円の部分を確率変数と呼びます。

あとは、縦同士で掛け算してそれぞれを足し算するだけです。

$300 \times \frac{1}{2} + 600 \times \frac{1}{3} + 1200 \times \frac{1}{6}$

$= 150 + 200 + 200 = 550$

$500$ 円でできるゲームなら理論上得をするゲームだということがわかりますね！

期待値と分散の問題

$A$ のゲームは $5$ 枚の $100$ 円硬貨を同時に投げた時、表の出た硬貨をもらえる。 $B$ のゲームは $1$ つのさいころを投げて、 $3$ 以上の目が出るとその目の枚数だけの $100$ 円硬貨をもらえ、 $2$ 以下の目が出るとその目の枚数だけの $100$ 円硬貨を支払う。 $A$ ,　 $B$ どちらのゲームに参加する方が有利か。

＞＞詳細はこちらから

（解説）

方針： $A$ のゲーム、 $B$ のゲームそれぞれの期待値を計算してどちらの期待値が高いかを考える

▼「 $A$ のゲーム」

表が $0$ 枚： $(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$

表が $1$ 枚： $_{5} C_{1} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^{4} = \frac{5}{32}$

表が $2$ 枚： $_{5} C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{10}{32}$

表が $3$ 枚： $_{5} C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{10}{32}$

表が $4$ 枚： $_{5} C_{4} (\frac{1}{2})^{4} (\frac{1}{2}) = \frac{5}{32}$

表が $5$ 枚： $(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$

スクロールできます

もらえる金額（円）	0	100	200	300	400	500	合計
確率	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$	1

期待値 $= 0 \times \frac{1}{32} + 100 \times \frac{5}{32} + 200 \times \frac{10}{32}$

$+ 300 \times \frac{10}{32} + 400 \times \frac{5}{32} + 500 \times \frac{1}{32}$

　　 $= \frac{500 + 2000 + 3000 + 2000 + 500}{32} = \frac{500}{2}$

$= 250$ 円

▼「 $B$ のゲーム」

スクロールできます

得られる金額（円）	-100	-200	300	400	500	600	合計
確率	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	1

期待値 $= - 100 \times \frac{1}{6} + (- 200) \times \frac{1}{6} + 300 \times \frac{1}{6}$

$+ 400 \times \frac{1}{6} + 500 \times \frac{1}{6} + 600 \times \frac{1}{6}$

　　 $= \frac{- 100 - 200 + 300 + 400 + 500 + 600}{6}$

$= \frac{1500}{6} = 250$ 円

期待値はお互いに $250$ 円のため、 $A$ ,　 $B$ どちらのゲームに参加しても同じ。

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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