【数列】『漸化式』漸化式を用いた確率の解法

確率と漸化式

さいころを複数回投げる時、$1$ の目が $2$ 回出る確率を求めたいとすると、

$2$ 回投げる時に $1$ の目が $2$ 回出る確率 → $p_2$ と表す。
$5$ 回投げる時に $1$ の目が $2$ 回出る確率 → $p_5$ と表す。
$n$ 回投げる時に $1$ の目が $2$ 回出る確率 → $p_n$ と表す。

「さいころを複数回投げる時」のように、果てしなく続く場合は、このように表すと便利です。

漸化式とは

漸化式とは、$n$ 回目の値と $n+1$ 番目の値の関係性

今回の例なら、さいころを $n$ 回投げて、$1$ の目が $2$ 回出る確率（値）を、$p_n$、さいころを $n+1$ 回投げて、$1$ の目が $2$ 回出る確率（値）を、$p_{n+1}$ とおくとき、

$p_n$ と $p_{n+1}$ の関係性を表すとそれが漸化式となる。

漸化式の全パターン

数列の基礎基本はこちら

漸化式の問題

さいころを $n$ 回投げる時、$1$ の目が偶数回出る確率を $p_n$ とする。ただし、$0$ は偶数と考える。このとき、$p_n$ と $p_{n+1}$ の間に成り立つ関係式を求めなさい。

漸化式の問題（答案の例）

さいころを $(n+1)$ 回投げるとき、$1$ の目が偶数回出る確率 $p_{n+1}$ について $p_{n+1}$ は、

[1]　$n$ 回目までに $1$ の目が偶数回出て、$(n+1)$ 回目に $1$ 以外の目が出る確率
[2]　$n$ 回目までに $1$ の目が奇数回出て、$(n+1)$ 回目に $1$ の目が出る確率

の和で求めることができます。

[1] の確率は、$p_n\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}$ $\cdots$ ①

[2] の確率は、$(1-p_n)\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}$ $\cdots$ ②

①、② より

$p_{n+1}=p_n\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}+(1-p_n)\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}}$
$p_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}{p}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}}$

漸化式の問題（解説）

[1] の確率

$n$ 回目までに $1$ の目が偶数回出る確率は、$p_n$
$n+1$ 回目に $1$ 以外の目が出る確率は、${\displaystyle \frac{5}{6}}$

よって、$p_n\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}$ $\cdots$ ①

[2] の確率

$n$ 回目までに $1$ の目が奇数回出る確率は、$1-p_n$

$1$ の目が偶数回出る確率：$p_n$
$1$ の目が奇数回出る確率：$q_n$ とおくと

$p_n+q_n=1$
$q_n=1-p_n$

と表すことができる。$n+1$ 回目に $1$ の目が出る確率は、${\displaystyle \frac{1}{6}}$

よって、$(1-p_n)\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}$ $\cdots$ ②

①、② より

$p_{n+1}=p_n\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}+(1-p_n)\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}}$
$p_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}{p}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}}$

おわりに

今回は、確率と漸化式が組み合わさった問題でした。