【式と証明】『等式の証明』条件つきの等式の証明

条件のある等式の証明

今回は等式の証明でも比較的わかりやすい問題を紹介します。

基本的に条件式がある場合は、それをどのように使うかがわかれば大体の問題に対応でき、そしてその方法はある程度パターンがあります。

では、実際に問題を一緒に見ていきましょう。

条件のある等式の証明（問題）

$a+b+c=0$ のとき、次の等式を証明しなさい。

　　 $a^3+b^3+c^3=3abc$

条件のある等式の証明（答案の例）

解き方①

$a+b+c=0$ より、 $c=-a-b$

よって、

　$a^3+b^3+c^3-3abc$
$=a^3+b^3+(-a-b{)}^3-3ab(-a-b)$
$=a^3+b^3-a^3-3a^{2}b-3a{b}^2-b^3+3a^{2}b+3a{b}^2$
$=0$

ゆえに、$a^3+b^3+c^3=3abc$

解き方②

等式を変形して、$a^3+b^3+c^3-3abc=0$

この左辺を $P$ とすると、

$P=a^3+b^3+c^3-3abc$
$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

$a+b+c=0$ より、$P=0$

ゆえに、$a^3+b^3+c^3=3abc$

条件のある等式の証明（解説）

条件式の使い方は、だいたいある文字について解き、それを代入して等式を証明していく流れが一般的です。解き方②が少し思いつきにくいですが、いろいろな方向からのアプローチを知っておくことは、応用力をつけることに直結するため、紹介しておきますね。

まず解き方①では、$c$ について解き、 $c$ に代入するという解き方です。

解答例では、$3abc$ を左辺に移行して、右辺を$0$ にしてから、左辺の $0$ を導く方法で証明していますが、$a^3+b^3+c^3$と$3abc$に各々 $c$ を代入して両辺のイコール関係を証明しても良いです。

$c$を移項すると、$c=-a-b$になるため、これを純粋に代入し、

　$a^3+b^3+c^3-3abc$
$=a^3+b^3+(-a-b{)}^3-3ab(-a-b)$
$=a^3+b^3-a^3-3a^{2}b-3a{b}^2-b^3+3a^{2}b+3a{b}^2$
$=0$

となります。ここまでは普通に解き方です。

次に、解き方②について紹介します。
$a+b+c=0$ をそのまま使っていくやり方です。

この式の意味は、 $a+b+c$ があれば、 $0$ に置き換えても良いということですね。連立方程式の代入法と同じ考え方ですね。
ということで、まずは $a+b+c$ を式の中に作り出すことから始めます。

$3abc$ を移項して、左辺を$a^3+b^3+c^3-3abc$とするところまでは同じです。

ここで左辺を因数分解します。

　$a^3+b^3+c^3-3abc$
$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

これを思いつくのが非常に難解なので、一般的な解き方ではないと言えます。思いつく際のヒントとしては、因数分解を使うこと、 $a+b+c$ は出てくるであろうことです。
あとは、$a+b+c$ の部分に条件式を代入すれば、

　$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$=0\times (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$=0$

となり、証明完了です。
基本は解き方①がメイン、もしもうまくいかなければ、別の方向からのアプローチが必要となるわけですが、そのときに解き方②を知っておけば、ある程度難問にも立ち向かえるでしょう。

おわりに